Die Abbildung der fundamentalen Operationen an Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir folgendes Problem: Von mehreren L-Funktionen F₁ , F₂, ..,. sind die zugehörigen l-Funktionen f₁ , f₂, ... bekannt. Man übe auf die L-Funktionen gewisse Operationen aus, z. B. man bilde ihr Produkt. Wie läßt sich dessen l-Funktion aus den Funktionen f₁ , f₂, ... berechnen, mit anderen Worten, wie bildet sich die Operation der Multiplikation von L-Funktionen im Raum der l-Funktionen ab ? Oder: Welche Operation an f entspricht der Ableitung von F, d. h. wie läßt sich 𝔏{F’} aus 𝔏{F} = f berechnen? Dasselbe Problem läßt sich auch in umgekehrter Richtung stellen: Wie sieht die zu f₁ •f₂ oder die zu f’ gehörige L-Funktion aus ? Wir gelangen auf diesem Weg zu den grundlegenden Abbildungseigenschaften der Funktionaltransformation 𝔏 {F} = f, die die vielseitige Verwendbarkeit der Laplace-Transformation in den Anwendungen begründen. Es wird sich nämlich herausstellen, daß gewisse komplizierte Operationen in dem einen Raum sich in ganz elementaren Operationen im anderen Raum widerspiegeln. Das eröffnet die Möglichkeit, verwickelte und tiefe Zusammenhänge in dem einen Raum an ihren viel leichter zu übersehenden Bildern in dem anderen Raum zu verfolgen und aufzuklären. Der ganze Inhalt des IV. und V. Teiles wird in Anwendungen dieser Idee, von der schon im 2. Kapitel gesprochen wurde, bestehen.