Die im Unendlichen regulären l-Funktionen

Zusammenfassung

Wendet man formal die Laplace-Transformation auf die Reihe $\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{a_n}}} {{n!}}{t^n}}$, die dazu natürlich für alle t >0 konvergieren, also eine ganze Funktion F (t) darstellen muß, gliedweise an, so erhält man die Reihe $\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{a_n}}}{{{s^{n + 1}}}}}$. Wenn diese wirklich irgendwo und damit im ganzen Äußeren eines Kreises konvergiert, so stellt sie eine im Unendlichen reguläre Funktion dar. Wir werden sehen, daß dies dann und nur dann der Fall ist, wenn es zu der ganzen Funktion F (t) eine Konstante a > 0 gibt, so daß F (t) e ^-a|t| in der ganzen t-Ebene beschränkt bleibt:

$$ \left| {F(t)} \right| < A{e^{a\left| t \right|}} $$

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