Definition und analytische Eigenschaften der Laplace-Transformation

  • Gustav Doetsch
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series

Zusammenfassung

Die Integrale verstehen wir, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt ist, im Riemannschen Sinne. Es wird sich meist um uneigentliche Integrale handeln. Rein methodisch gesehen, gewinnt die Theorie der Laplace- und Fourier-Integrale eine abgerundetere Gestalt, wenn man den Umkreis der in Frage kommenden Funktionen einerseits dadurch erweitert, daß man den Integralbegriff im Lebesgueschen Sinne nimmt, und ihn andererseits durch die Forderung einschränkt, daß das Quadrat der Funktionen integrabel sein soll. Man kann dann den Konvergenzbegriff und damit die Stetigkeit im Funktionenraum durch die Konvergenz im Mittel erklären (s. S. 4), und es stellt sich heraus, daß die Laplace- bzw. Fourier-Transformation in diesem Sinne stetig ist. Ferner bekommt man bei dieser Abgrenzung eine sehr glatte Antwort auf die Frage nach der Umkehrung der Transformation. (Wir kommen auf diese Dinge später zurück.)

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Literatur

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  4. Diese Regel lautet: Wird bei integrablem g (t) und h (t) (math) gesetzt, so gilt: (math) (Siehe z. B. G. Kowalewski: Grundzüge der Differential- und Integralrechnung, § 159.) Sind speziell g und h stetig, so ist g = G’, h = H’, und man fällt auf die übliche Form der partiellen Integration zurück.Google Scholar
  5. In der Literatur ist außer der im 2. Kapitel erwähnten Bezeichnung „fonction génératrice“auch der Name,,Laplace-Transformierte“üblich. Doch wird dieses Wort auch noch in einem anderen Sinne gebraucht. Man versteht darunter häufig das durch die Laplace-Transformation oder eine ihr ähnliche Transformation vermittelte Abbild einer Funktionalgleichung (meist einer Differentialgleichung), also das, was Laplace die „erzeugende Gleichung“nennt (s. die Fußnote S. 8). Vgl. L. Schlesinger: Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen I, S. 407f. Leipzig 1895.MATHGoogle Scholar
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Copyright information

© Julius Springer in Berlin 1937

Authors and Affiliations

  • Gustav Doetsch
    • 1
  1. 1.Albert-Ludwigs-Universität Freiburg I. Br.Deutschland

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