Allgemeines über die Behandlung von partiellen Differentialgleichungen durch Funktionaltransformationen

Zusammenfassung

Wird für eine Funktion U, die von mehreren Variablen x, y,... abhängt, eine Funktionalgleichung vorgegeben, die außer der Funktion noch gewisse partielle Ableitungen nach jenen Variablen enthält, so heißt die Gleichung eine partielle Differentialgleichung. Während es bei gewöhnlichen Differentialgleichungen leicht ist, die Zusatzbedingungen anzugeben, die unter den unendlich vielen Lösungen der Gleichung eine bestimmte charakterisieren, ist dies bei partiellen Differential- -gleichungen eine im allgemeinen schwierige Aufgabe, die bis jetzt nur für wenige Klassen von Differentialgleichungen gelöst ist. Da die partiellen Differentialgleichungen eine große Rolle in der mathematischen Physik spielen, so kann man sich dabei oft von physikalischen Erwägungen leiten lassen. Die folgenden Erörterungen sind daher an physikalische Probleme angelehnt. Genau wie bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen ist zunächst das Grundgebiet des x y · · · - Raumes festzulegen, in dem die Differentialgleichung integriert werden soll. Wenn z. B. U ein Geschwindigkeitspotential darstellt, so ist dieses Gebiet im allgemeinen endlich, und es ist physikalisch einleuchtend, daß U im Innern festliegt, wenn man seinen Wert auf der Begrenzung (dem Rand) vorgibt.