Ein allgemeines Prinzip der asymptotischen Entwicklung und die verschiedenen Arten von Asymptotik

  • Gustav Doetsch
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series

Zusammenfassung

Ist eine Funktion φ(z) einer komplexen Variablen in der Umgebung einer Stelle z0 regulär, so verhält sie sich dort sehr einfach und übersichtlich. Sie konvergiert bei zweidimensionaler Annäherung an die Stelle z0 gegen einen Grenzwert, und die Art des Verhaltens wird des näheren beschrieben z. B. durch ihre Potenzreihenentwicklung, d. h. (um den in 10.1 geprägten Begriff zu verwenden) man kann sie z. B. durch deren Abschnittspolynome differenzasymptotisch darstellen:
$$\varphi (z) - \sum\limits_{v = 0}^n {{c_v}} {(z - {z_0})^v} = 0({(z - {z_0})^{n + 1}}) \to 0\quad f\ddot ur\quad z \to {z_0}$$
An singulären Stellen aber gibt es eine solche universelle Beschreibung nicht. Hier muß man von Fall zu Fall brauchbare, in ihrem Verhalten bekannte Vergleichsfunktionen ausfindig machen, die differenz- oder quotientenasymptotisch die vorliegende Funktion approximieren, wobei die Vergleichsfunktionen im allgemeinen noch davon abhängig sind, auf welchen Teil der Umgebung des singulären Punktes man die Untersuchung erstreckt (Strahl oder andere Kurve, die in dem Punkt endet, Winkelraum und dergleichen). Während man die Approximation durch eine einzelne Vergleichsfunktion eine „asymptotische Darstellung“ nennt, spricht man in dem Falle, daß die Anzahl der Vergleichsfunktionen sich unter gleichzeitiger Verfeinerung der Approximation beliebig vermehren läßt, von einer „asymptotischen Entwicklung“.

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Copyright information

© Julius Springer in Berlin 1937

Authors and Affiliations

  • Gustav Doetsch
    • 1
  1. 1.Albert-Ludwigs-Universität Freiburg I. Br.Deutschland

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