Analytische Fortsetzung und Riemannsche Flächen

Zusammenfassung

Bisher haben wir nur Beispiele solcher analytischen Funktionen kennen gelernt, welche uns durch übersichtliche analytische Ausdrücke in ihrem Gesamtverlauf gegeben waren. Für die allgemeine Theorie müssen wir aber davon ausgehen, daß ein Funktionsverlauf von vornherein nur für ein gegebenes beschränktes Gebiet G ₀ der z-Ebene definiert ist, wie z. B. durch eine Potenzreihe in ihrem Konvergenzkreise. Dann entsteht das Problem der analytischen Fortsetzung, d. h. die Frage, ob und wie es möglich ist, den ursprünglichen Definitionsbereich G ₀ zu erweitern. Den Funktionsverlauf in einem gegebenen Gebiete bezeichnen wir von diesem Standpunkte aus als „Funktionselement“.