Anwendungen auf Algebra und Logik

Zusammenfassung

In den vorherigen Kapiteln haben wir algebraische und logische Konstruktionen als Beispiele für kategorielle Begriffsbildungen kategoriell beschrieben. Die Syntax der Algebra läßt sich zusammenfassen zu einer Kategorie von Sortenstrings, Termen und Substitutionen (Term(Σ) bzw. Term(SP), Bsp. 22.2.8), die endliche Produkte hat (Satz 25.2.1). Die syntaktischen Kategorien der Aussagenlogik (Form(P), 22.2.9) haben endliche Produkte und Coprodukte sowie Exponenten (Beispiele 25.2.2, 25.4.2 und 27.4.2). In beiden Fällen können die Modelle, Algebren bzw. Wahrheitsbelegimgen als strukturbewahrende Funktoren von einer syntaktischen Kategorie in einen semantischen Bereich, d.h. einer Kategorie mit geeigneter Struktm, angesehen werden. Algebren sind Interpretationen der algebraischen Syntax in der Kategorie der Mengen und Abbildungen (Bsp. 24.2.5), Wahrheitsbelegungen sind Interpretationen der aussagenlogischen Syntax in der Kategorie der Wahrheitswerte T (wahr) imd F (falsch) mit der Folgerungsbeziehung F→T (Bsp. 24.2.6). Homomorphismen von Σ-Algebren werden unter dieser Entsprechung zu natürlichen Transformationen und ergeben jeweils Äquivalenzen zwischen Funktorkategorien und Kategorien von Algebren (Satz 26.3.2). Diese Äquivalenz läßt sich auf Wahrheitsbelegungen übertragen und führt so zu einem natürlichen Begriff von Morphismen bzw. Vergleichen von Wahrheitsbelegungen.