Optimalfilter nach Wiener und Kolmogoroff

Zusammenfassung

Mit dem Optimalfilter nach Wiener und Kolmogoroff betrachten wir nun eine “klassische” Anwendung der statistischen Signaltheorie für den Filterentwurf. Beide Wissenschaftler haben in den Jahren 1942 und 1941 unabhängig voneinander das Problem, ein Filter zu entwerfen, mit statistischen Voraussetzungen bearbeitet und gelöst [124, 60]. Sie haben dabei die Übertragungsfunktion eines Filters hergeleitet, das ein Nachrichtensignal im Sinne des mittleren quadratischen Fehlers (siehe Gleichung 5.17) optimal von einer additiven Störung trennt. Vorausgesetzt haben sie dabei Kenntnisse über die statistischen Eigenschaften von Nachricht und Störung bis zur zweiten Ordnung, d.h. über hneare Mittelwerte, Auto- und Kreuzkorrelationsfunktionen. Dies weicht von sonst üblichen Voraussetzungen beim Filterentwurf ab. Insbesondere in der Trägerfrequenztechnik ist es üblich, Filter nach Voraussetzungen über den Betrag und die Phase ihres Frequenzgangs zu entwerfen. Hierbei werden insbesondere ein Durchlaßbereich und ein Sperrbereich festgelegt. Im Durchlaßbereich wird dann gefordert, daß Abweichungen des Betrages des Frequenzgangs von dem idealen Wert Eins innerhalb eines gegebenen Toleranzbereiches bleiben. Für den Sperrbereich verlangt man dagegen eine Mindestdämpfung, d.h. daß der Betrag des Frequenzgangs eine zweite Schranke nicht überschreitet. Zwischen Durchlaß- und Sperrbereich gibt es einen Ubergangsbereich, für den ebenfalls Forderungen vorgegeben werden. Derart entworfene Filter werden je nach Lage des Durchlaßbereiches als Tiefpässe, Hochpässe, Bandpässe oder Bandsperren bezeichnet. Ihre Anwendung ist dort sinnvoll, wo es bei einem Signal-Störungsgemisch Frequenzbereiche gibt, die überwiegend durch das Signal belegt sind, und andere Bereiche, in denen die Störung dominiert. Dies ist in Trägerfrequenzsystemen der Fall, wo für einen bestimmten Kanal alle anderen Kanäle als Störung anzusehen sind.