Holomorphie und Winkeltreue. Biholomorphe Abbildungen

Zusammenfassung

Die Aufgabe, längentreue bzw. winkeltreue Abbildungen zwischen Flächen im Raum ℝ³ zu untersuchen, gehört zu den interessanten Fragestellungen der klassischen Differentialgeometrie. Das Problem ist wichtig für die Kartographie: jede Seite eines Atlas ist eine Abbildung eines Teils der Erd- (kugel)oberfläche in die Ebene. Man weiß, daß es keine längentreuen Atlanten geben kann; hingegen gibt es sehr wohl winkeltreue Atlanten (z.B. durch stereographische Projektion). Das erste Ziel dieses Kapitels ist es zu zeigen, daß für Bereiche in der Ebene ℝ² = ℂ winkeltreue Abbildungen und holomorphe Funktionen im wesentlichen dasselbe sind (Paragraph 1). Die Deutung holomorpher Funktionen als winkeltreue (= konforme) Abbildungen wurde vor allem von Riemann propagiert (vgl. 1.5); sie liefert die beste Möglichkeit, sich solche Funktionen „anschaulich vorzustellen“. Man verfolgt im einzelnen, wie sich Wege unter solchen Abbildungen verhalten; die Invarianz der Schnittwinkel zwischen Wegen ermöglicht häufig eine gute Beschreibung der Funktion. „The conformal mapping associated with an analytic function affords an excellent visualization of the properties of the latter; it can well be compared with the visualization of a real function by its graph“ (Ahlfors [1], S. 89).

Der Umstand, dass das Verständnis mehrerer Arbeiten Riemanns anfänglich nur einem kleinen Leserkreis zugänglich war, findet wohl darin seine Erklärung, dass Riemann es unterlassen hat, bei der Veröffentlichung seiner allgemeinen Untersuchungen das Eigenthümliche seiner Betrachtungsweise an der vollständigen Durchführung specieller Beispiele ausführlich zu erläutern (Hermann Amandus Schwarz 1869).