Lineare Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Mit großen lateinischen Buchstaben werden n x n-Matrizen bezeichnet,

$$ A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1\;1}},...,{a_{1\;n}}}\\ { \vdots \;\;\;\;\;\;\;\; \vdots }\\ {{a_{n\;1}},...,{a_{n\;n}}} \end{array}} \right) = ({a_{ij}}) $$

mit a _{i j} ∈ ℝ oder ℂ. Sie bilden einen reellen oder komplexen linearen Raum, wenn man wie üblich

$$ A + B = ({a_{ij}} + {b_{ij}}),\;\;\;\;\lambda A = (\lambda {a_{ij}}) $$

setzt; man kann ihn als ${R^{{n^2}}}$ (oder bei komplexen a _{i j} , b _{i j} , λ. als ${\mathbb{C}^{{n^2}}}$) auffassen. In diesem Raum ist eine Multiplikation (Matrizen-Multiplikation)

$$ AB = C \Leftrightarrow {c_{ij}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{b_{kj}}} $$

erklärt; sie ist nicht-kommutativ. Weiter sei an die Definition der Determinante von A

$$ \det A = \sum\limits_p {{{( - 1)}^{v(p)}}{a_{{1_{p1}}}}{a_{{2_{p2}}}}...\;{a_{{n_{pn}}}}} $$

(1)

erinnert. Hierin durchläuft p = (p₁,...,p_n) alle Permutationen der Zahlen 1,...,n; v(p) ist die Anzahl der Inversionen von p.