Jordanscher Inhalt und Riemannsches Integral im ℝⁿ

Zusammenfassung

Das Inhaltsproblem, eines der großen und ältesten mathematischen Probleme, haben wir bereits im ersten Band kennengelernt. In der Einleitung zu § I.9 wurde über die Geschichte des Flächeninhalts berichtet. Die im griechischen Altertum beginnende Entwicklung führte in ihrer rein arithmetischen, vom geometrischen Gegenstand losgelösten Form schließlich zum Riemannschen Integral. Später, gegen Ende des vorigen Jahrhunderts, wurden dann von G. Peano (Applicazioni del calcolo infinitesimale, Turin 1887, S. 154–158) und C. Jordan (J. de Math. (4) 8 (1892), S. 76–79 und Cours d’Analyse 1, 2_e éd., Paris 1893, S. 28–31) die dem Integral zugrundeliegenden Ideen zu einer ersten exakten Theorie des Inhalts von ebenen und räumlichen Gebilden ausgebaut. Die Jordansche Inhaltstheorie haben wir in I.11.7 kurz und ohne Beweise skizziert. Unter Benutzung von einfachen Tatsachen aus dieser Theorie wurden dann in I.11.82-12 ebene Flächeninhalte und Volumina von Rotationskörpern mit Hilfe der Integralrechnung bestimmt sowie Schwerpunkte und Trägheitsmomente berechnet. Wir werden jetzt die damals verbliebenen Lücken schließen und zunächst einen Abriß der Jordanschen Theorie im ℝⁿ geben. Der Übergang zum Riemannschen Integral im ℝⁿ vollzieht sich dann ganz zwanglos, da diesem dieselben geometrischen Überlegungen zugrundeliegen.