Qualitative Theorie der Differentialgleichungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel betrachten wir die Differentialgleichung

$$ \dot{x} = f\left( {t,x} \right) $$

(1)

, in der $x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}_{1}}(t)} \\ \vdots \\ {{{x}_{n}}(t)} \\ \end{array} } \right)$ ist und $f\left( {t,x} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{f}_{1}}\left( {t,{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}} \right)} \\ \vdots \\ {{{f}_{n}}\left( {t,{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}} \right)} \\ \end{array} } \right)$ eine nichtlineare Funktion von x₁,..., x_n bezeichnet. Unglücklicherweise sind keine Lösungsmethoden für Gleichung (1) bekannt. Dies ist natürlich sehr bedauerlich, jedoch ist es in den meisten Anwendungen nicht notwendig, die Lösungen von (1) explizit zu finden. Seien beispielsweise x₁(t) und x₂(t) die Populationen zweier Spezies zur Zeit t, die gegeneinander um die in ihrem Mikrokosmos nur in begrenztem Umfang zur Verfügung stehende Nahrung und Lebensraum kämpfen. Werden dann die Wachstumsraten von x₁(t) und x₂(t) durch die Differentialgleichung (1) beschrieben, so sind wir in diesem Fall weniger an den Werten von x₁(t) und x₂(t) zu jedem Zeitpunkt t, als vielmehr an den qualitativen Eigenschaften von x₁(t) und x₂(t) interessiert.