Zentralsymmetrische Probleme

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt untersuchen wir Lösungen der Schrödinger-gleichung, bei denen V(r) nur von der Entfernung r der Korpuskel von einem festen Zentrum abhängt. Dazu benutzen wir Kugelkoordinaten (sphärische Polarkoordinaten) r, ϑ, ϕ, die durch die Transformationsgleichungen

$$ x = r\sin \vartheta \cos \varphi ;\quad y = r\sin \vartheta \sin \varphi ;\quad z = r\cos \vartheta $$

(AIV.1)

definiert sind. In diesen Koordinaten nimmt der Laplace-Operator die Form

$$ {\nabla ^2} = {{{\partial ^2}} \over {\partial {r^2}}} + {2 \over r}{\partial \over {\partial r}} + {1 \over {{r^2}}}A $$

(AIV.2a)

an, wobei der Winkelanteil des Operators

$$ {\rm{A = }}{1 \over {\sin \vartheta }}{\partial \over {\partial \vartheta }}\left( {\sin \vartheta {\partial \over {\partial \vartheta }}} \right) + {1 \over {{{\sin }^2}\vartheta }}{{{\partial ^2}} \over {\partial {\varphi ^2}}} $$

(AIV.2b)

ist.