Bestimmte Integrale und Residuenkalkül

Zusammenfassung

Der Residuenkalkül ist hervorragend geeignet, reelle Integrale zu berechnen, für deren Integranden sich keine Stammfunktionen explizit angeben lassen. Die Grundidee ist einfach: das reelle Integrationsintervall wird zu einem geschlossenen Integrationsweg γ in der komplexen Ebene erweitert und der Integrand zu einer Funktion im von γ berandeten Gebiet fortgesetzt, die dort bis auf isolierte Singularitäten holomorph ist; das Integral über γ wird dann mittels des Residuensatzes bestimmt, wobei die Residuen algebraisch berechnet werden. Euler, Laplace und Poisson benötigten noch analytischen Erfindergeist, um ihre Integrale zu finden. Heute gehört dazu vor allem Geläufigkeit in der Benutzung der Cauchyschen Formeln. Allerdings gibt es keine kanonische Methode, bei vorgegebenem Integranden und Integrationsintervall den besten Weg γ in ℂ zu finden.

Le calcul des résidus constitue la source naturelle des intégrales définies (E. Lindelöf).