Laurentreihen und Fourierreihen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel diskutieren wir zwei Typen von Reihen, die nach den Potenzreihen zu den wichtigsten Reihen der Funktionentheorie gehören: $Laurentreihen\;\sum\limits_{ - \infty }^\infty {{a_v}} {(z - c)^v}\;{\rm{und }}Fourierreihen\;\sum\limits_{ - \infty }^\infty {{c_v}} {e^{2\pi ivz}}.$ Die Theorie der Laurentreihen ist eine Theorie der Potenzreihen für Kreisringe; Weierstrass hat übrigens Laurentreihen auch Potenzreihen genannt (vgl. [W₂], S. 67). Fourierreihen sind Laurentreihen um c: = 0 mit e^2πiz anstelle von z, die große Bedeutung dieser Reihen liegt darin, daß sich holomorphe periodische Funktionen in solche Reihen entwickeln lassen. Eine besonders wichtige Fourierreihe ist die Thetareihe $\sum\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - v2\pi \tau }}} {e^{2\pi ivz}},$ die der Mathematik des 19. Jahrhunderts ganz entscheidende Impulse gegeben hat.

At quantopere doctrina de seriebus infinitis Analysin sublimiorem amplificaveret, nemo est, qui ignoret*⁾ (L. Euler 1748, Introductio).