Konvergente Reihen meromorpher Funktionen

Zusammenfassung

Der Berliner Mathematiker Gotthold Eisenstein (Studierenden aus Algebravorlesungen durch sein Irreduzibilitätskriterium bekannt) hat 1847 in die Theorie der trigonometrischen Funktionen die heute vielfach nach ihm benannten Reihen

$$ \sum\limits_{v = \; - \;\infty }^\infty {\frac{1}{{{{\left( {z + v} \right)}^k}}},} \;\;\;\;\;k = 1,2,\; \ldots $$

eingeführt. Diese Eisensteinschen Reihen sind die einfachsten Beispiele von in ℂ normal konvergenten Reihen meromorpher Funktionen. In diesem Kapitel wird im Paragraphen 1 zunächst allgemein der Begriff einer kompakt bzw. normal konvergenten Reihe meromorpher Funktionen eingeführt. Im Paragraphen 2 wird die Partialbruchreihe der Cotangensfunktion

$$ \pi \;{\rm{cot}}\;\pi \;z = \frac{1}{2} + \sum\limits_1^\infty {\frac{{2z}}{{{z^2} - {v^2}}} = \frac{1}{z} + \sum\limits_1^\infty {\left( {\frac{1}{{z + v}} + \frac{1}{{z - v}}} \right)} } $$

studiert, die zu den fruchtbarsten Reihenentwicklungen der klassischen Analysis gehört. Durch Koeffizientenvergleich der Taylorreihen von $\sum\limits_1^\infty {\frac{{2z}}{{{z^2} - {v^2}}}\;{\rm{und}}\;\pi \;{\rm{cot}}\;\pi z - \frac{1}{z}}$ um 0 gewinnen wir im Paragraphen 3 die berühmten Eulerschen Identitäten

$$ \sum\limits_1^\infty {\frac{1}{{{v^{2n}}}} = {{( - 1)}^{n\; - \;1}}\frac{{{{(2\pi )}^{2n}}}}{{2\left( {2n} \right)!}}{B_{2n}}} ,\;\;\;\;\;n = 1,2,\; \ldots $$

Im Paragraphen 4 skizzieren wir den Eisensteinschen Zugang zu den trigonometrischen Funktionen.