Periodizität und schnelle Fourier-Transformation

Zusammenfassung

Periodische Vorgänge spielen in der Natur und in der Technik eine zentrale Rolle (Pulsschlag, Planetenbewegung, Takt und Tonfrequenz in der Musik, Taktfrequenz eines PCs, Zündfolge eines Motors,…;). Dabei kann die Periodenlänge über weite Bereiche streuen. (Ein Umlauf der Erde um die Sonne erfolgt in einem Jahr; die Pulsfrequenz beträgt etwa eine Sekunde, während die “innere Uhr” eines PCs bei 25 MHz 25 Millionen Mal je Sekunde schlägt.) Weil periodische Vorgänge in allen Bereichen von Naturwissenschaft, Technik und Medizin vorkommen, hat man schon frühzeitig versucht, geschickte Rechentechniken für die Analyse dieser Phänomene zu entwickeln. Innerhalb der Mathematik spielen die Arbeiten von Euler und Gauß, welche den Zusammenhang der (einfachsten) periodischen Funktionen Sinus und Kosinus mit der Exponentialfunktion aufgedeckt haben, und von Fourier³⁵, der gezeigt hat, daß man periodische Vorgänge adäquat mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen beschreiben kann, historisch eine grundlegende Rolle. Gauß hat auch schon geschickte Rechenverfahren entwickelt, die später von Runge³⁵ verfeinert wurden. Den entscheidenden rechentechnischen Durchbruch erzielten aber erst Coo-ley ³⁷ und Tukey ³⁸ zu Beginn der sechziger Jahre, obwohl die Idee ihrer Methode möglicherweise schon Gauß bekannt war. Dieser neue Algorithmus revolutionierte die Numerik periodischer Vorgänge und ermöglichte es, digitale Signale zu verarbeiten, d.h. zu analysieren, zu filtern und zu glätten. Die Erfolge der Bildverarbeitung — Fernerkundung mit Hilfe von Satelliten oder optische Darstellungsverfahren in der Medizin, um nur zwei besonders spektakuläre Methoden zu nennen — wären ohne die computergestützte Fourier-Analyse nicht denkbar. Aber auch in einem Bereich, den man zunächst mit periodischen Vorgängen gar nicht in Zusammenhang bringt, spielt die Methode von Cooley und Tukey eine zentrale Rolle: In den letzten Jahren ist es gelungen, “sehr lange” Zahlen arithmetisch miteinander zu verknüpfen, also zu addieren und zu multiplizieren. Man stößt auf dieses Problem, wenn man nach großen Primzahlen sucht oder spezielle Zahlen auf viele Dezimalstellen berechnen will. Welche Dimensionen diese Aufgabe hat, erkennt man daran, daß es vor kurzem (Stand: 1990) gelungen ist, π auf mehrere Hundert Millionen Dezimalstellen zu berechnen.