Implizite Funktionen. Maxima und Minima

Zusammenfassung

Dieser Paragraph behandelt zwei Fragenkomplexe, das Auflösen von Gleichungen im ℝⁿ und die Bestimmung von Extremwerten. Die erste Frage erweist sich als wesentlich schwieriger als im eindimensionalen Fall, weil der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen 1.6.10 kein einfaches n-dimensionales Analogon besitzt. Unser zentrales Hilfsmittel ist der Fixpunktsatz für kontrahierende Abbildungen, den wir bereits aus 1.11.26 kennen. Dieser auch Kontraktionsprinzip genannte Satz ist eines der großen Prinzipien der Analysis mit zahllosen Anwendungen in den verschiedensten Gebieten. Das Newton-Verfahren macht es möglich, das Lösen einer Gleichung f(x) = a, wobei f eine Funktion vom Typ ℝⁿ → ℝⁿ ist, auf das Kontraktionsprinzip zurückzuführen. Mit diesem Rüstzeug werden wir eine grundlegende Frage der mehrdimensionalen Analysis, die Existenz der Umkehrfunktion und allgemeiner einer implizit definierten Funktion, untersuchen.