Zusammenfassung
Aus der Sicht des Anwenders hat Mathematik die Aufgabe, Modelle zur formalen Beschreibung der Realität zu entwickeln. Die Forderung der Praxis nach einer guten Theorie und umgekehrt der Wunsch der Theoretiker nach einer möglichst breiten Anwendung führen dabei oft zur Konstruktion neuer mathematischer Disziplinen. Ein gutes Beispiel für die gegenseitige Befruchtung von Theorie und Praxis ist die Entstehung und Entwicklung der Fuzzy-Mathematik.1
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Literaturnachweis
Fuzzy (engl): flockig, verwischt, verschwommen, vage.
Lofti Asker Zadeh (geb. 1921 in Baku, seit 1944 in USA, Professor an der Universität in Berkeley/Cal.
Klirr, G.J., Folger, T.A.: Fuzzy Sets, Uncertainty, and Information. London 1988. Weiterführende Literatur: Kaufmann, A.: Introduction to the Theory of Fuzzy Subsets. Orlando 1975; Zimmermann, H.J.: Fuzzy Set Theory and Its Applications. Boston-Dordrecht-Lancaster, 3. Auflage 1988. Rommelfanger, H.: Entscheiden bei Unschärfe. Fuzzy Decision Support Systeme, Berlin 1988. Auf diese Bücher und die Originalarbeiten von Zadeh nimmt Abschnitt 4 Bezug.
Es sei darauf hingewiesen, daß die echte Teilmengen-Relation in Abweichung von unserer Definition gelegentlich durch „μA(X) <μB(x) für alle x ∈ G“erklärt wird.
X ist so konstruiert, daß X ⊂ A und X ⊂ B erfüllt ist, ansonsten kann man die μx(x)-Werte beliebig wählen, entsprechendes gilt für Y.
Es sei noch einmal auf die Vereinbarung GRUNDMENGE = G, LEER = Ø hingewiesen.
Als Verband bezeichnet man eine algebraische Struktur mit zwei zweistelligen Verknüpfungen, für welche die Kommutativ-, Assoziativ-und Absorptionsgesetze gelten. Bei distributiven Verbänden gelten außerdem beide Distributivgesetze. Damit ist jede BOOLEsche Algebra zugleich ein distributiver Verband (aber natürlich nicht umgekehrt). Als Operationszeichen verwendet man gern „⊓“und „ ⊔“.
Zadeh, L.: Fuzzy-Sets. Information und Control, 8. pp. 338-353, 1965
Rödder, W.: On „And“and „Or“Connectives in Fuzzy Set Theory. RWTH Aachen. Institut für Wirtschaftswissenschaften, Arb. Bericht Nr. 75/07, 1975.
Vgl. Rommelfanger a.a.o., Zimmermann, H.J.: Empirische Untersuchungen unscharfer Entscheidungen. DFG Arbeitsbericht Nr. ZI 104/7. RWTH Aachen 1979. Zimmermann, H.J. und Zysno, P.: Latent Connectives in Human Decision Making. FSS4, S. 37-51, 1980.
Bei KAUFMANN (a.a.O) auch Fuzzy-Äquivalenz-Relation (fuzzy equivalence relation) genannt
Es ist [a, b] = (a, b) etc., mit Klassen sind die klassischen Äquivalenzklassen (1, 2, 3) gemeint, vgl. die Paarbildungen bei R0,8.
In der Literatur auch Fuzzy-Halbordnung (partial ordering) genannt
Die äußeren Striche sind Betragsstriche im Sinne der reellen Zahlen.
Zadeh, L.A.: The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to Approximate Reasoning. Memorandum ERL-M 411, Berkeley 1973
m.a.W. die Anordnung ab ⌝a ⌝ b kann in der Tafel nicht auftreten, und in entsprechender Weise ist das Fehlen der anderen Anordnungen zu erklären.
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Böhme, G. (1990). Fuzzy-Algebra. In: Algebra. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-97264-5_4
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