Zusammenfassung
Zu den Hauptaufgaben der linearen Algebra gehört die Untersuchung linearer Gleichungssysteme der Art \( \left. \begin{gathered} {{a}_{{_{{11}}}}}{{x}_{1}}{\text{ }} + {\text{ }}{{a}_{{12}}}{{x}_{2}}{\text{ }} + {\text{ }} \ldots {\text{ }} + {\text{ }}{{a}_{{1n}}}{{x}_{n}} = {{b}_{1}} \hfill \\ {{a}_{{21}}}{{x}_{1}}{\text{ }} + {\text{ }}{{a}_{{22}}}{{x}_{2}}{\text{ }} + {\text{ }} \ldots {\text{ }} + {\text{ }}{{a}_{{2n}}}{{x}_{n}} = {{b}_{2}} \hfill \\ ..................................................... \hfill \\ {{a}_{{m1}}}{{x}_{1}}{\text{ }} + {\text{ }}{{a}_{{m2}}}{{x}_{2}}{\text{ }} + {\text{ }} \ldots {\text{ }} + {\text{ }}{{a}_{{mn}}}{{x}_{n}} = {{b}_{m}} \hfill \\ \end{gathered} \right\}{{(*)}^{1}} \)
This is a preview of subscription content, log in via an institution.
Buying options
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Learn about institutional subscriptionsPreview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literaturnachweis
In der Sprache der mathematischen Logik handelt es sich um die Konjunktion von m prädikaten-logischen Ausdrücken in jeweils n Variablen über ℝn, wobei der generalisierte Durchschnitt der Erfüllungsmengen zu bestimmen ist.
Äquivalente Formulierungen sind: ⌍ (b1 = b2 = 0), b12 + b22 ≠ 0, (b1 b2) ≠ (0, 0).
Mnemotechnik: die „Kunst“der Gedächtnishilfen.
Als Linearkombination (LK) von n Elementen a1, a2,…, an bezeichnet man jede Summe der Gestalt k1a1+k2a2 + … + knan mit ki∈ℝ und (kl, k2,…, kn) ≠ (0,0,…, 0). Die aikönnen z.B. Zeilen—oder Spalten (Vektoren) von Determinanten sein. Dann heißt die allgemeine LK-Regel: Der Wert einer Determinante bleibt unverändert, wenn man zu einer Zeile/Spalte eine LK anderer Zeilen/Spalten addiert.
Gelegentlich wird die Adjunkte Aik auch die (zu aik gehörende) „adjungierte Unterdeterminante“ genannt.
L. Kronecker (1823–1891), deutscher Mathematiker (Algebra, Zahlentheorie).
P. Sarrus (1798–1861), französischer Mathematiker.
Damit ist die zur Abbildung f: ℝ → Rgehörende ZuOrdnungsvorschrift x ↦ f (x) = y in der „impliziten Form“F(x, y) = 0:⇔ y = f(x) gemeint. Die Gerade ist der Graph von f.
A.T. Vandermonde (1735–1796), französischer Mathematiker.
Die Addition von linienflüchtigen Vektoren kann nur dann nach der Parallelogrammregel erfolgen, wenn sich die Vektoren in einen gemeinsamen Anfangspunkt verschieben lassen. Um linienflüchtige Vektoren, deren Wirkungslinien sich nicht schneiden, „addieren“zu können (z.B. räumlich verteilte Kraftvektoren am starren Körper), muß man eine verallgemeinerte Vektoraddition definieren, wobei man zu dem Begriff des „Winders“gelangt, worauf hier aber nicht weiter eingegangen werden soll.
Gebundene Vektoren können nur dann addiert werden, wenn sie gleichen Anfangspunkt haben. Gebundene Vektoren, die speziell vom Ursprung ausgehend zu einem Raumpunkt verlaufen, heißen Ortsvektoren.
Den Dimensionsbegriff verstehe man hier zunächst im naiven Sinne. Eine exakte Definition erfolgt im Abschnitt 2.5.2.
Pythagoras von Samos (580(?)−500(?)), griech. Philosoph (Orden der P., Geometrie, Astronomie, Zahlenmystik)
Thales von Milet (624(?)−546(?)), griech. Philosoph (Astronomie, Geometrie)
„Skalare Addition“ist hier im Sinne von (ℝ, +) gemeint.
Das System heißt „rechtshändig“oder ein „Rechtssystem“, wenn x, y-und z-Achse wie Daumen, Zeige-und Mittelfinger der rechten Hand zueinander liegen; sie bilden in dieser Reihenfolge also eine Rechtsschraubung.
vgl. dazu Aufgabe 4 von Abschnitt 2.3.1.
Je drei linear unabhängige Vektoren können als Basis dienen, wir bleiben in der anschaulichen Vektoralgebra jedoch bei i, j, f.
Es sei darauf hingewiesen, daß sich die Subtraktion aus 1. und 4. ergibt, falls man in 4. für k = — 1 setzt.
Die Gleichsetzung der beiden eingeklammerten Schemata ist so zu lesen, daß jeweils die Elemente rechts und links gleich sind, die an gleicher Stelle im Schema stehen. Vgl. hierzu auch die Definition „Gleichheit zweier Matrizen“in 2.4.1.
Es ist üblich, die Verknüpfung ko kommutativ zu handhaben: bs:= sb, ct:= tc etc.
Andere Bezeichnungen sind „gemischtes Produkt“oder „skalares Dreierprodukt“.
J.L. Lagrange (1736–1813), franz. Mathematiker (Mechanik, Zahlentheorie, Analysis)
Geht man nicht den Weg über die Komponentenzerlegung eines Vektors, so leitet man die Identität von Lagrange sehr viel schneller her
Diese Übersicht versteht sich nichtals Verknüpfungstafel im Sinne von 1.5 oder 1.6.
Die hochgestellten Indizes sind hier nicht als Exponenten, sondern als Nummern der Zeilenvektoren zu verstehen.
Nur in der Vektoralgebra (vgl. 2.3.2) ist es üblich, zwei Zeilenvektoren (oder zwei Spaltenvektoren) als skalares Produkt zu verknüpfen. Im allgemeinen (und speziell in der Matrizenrechnung) wird das skalare Produkt stets aus einem Zeilenvektorund einem Spaltenektor(in dieser Reihenfolge!) gebildet.
S. Falk (geb. 1921), em.o. Prof. a.d. TU Braunschweig (Mechanik und Festigkeitslehre)
Halbgruppen mit Einselement (Neutralelement) heißen Monoide.
Für n = 2 wurde der Satz als Aufgabe 3 in 2.2.1 behandelt.
M. a. W. die Abbildung A ↦ det A ist ein multiplikativer Homomorphismus
Das heißt nicht, daß sie nicht auch unabhängig davon beweisbar sind (siehe Aufgabenteil!)
Falsch wäre es, PX + X = (P + 1)X zu schreiben, da der Term P + 1 nicht erklärt ist (es gibt keine Addition zwischen einer Matrix und einer reellen Zahl!).
Länge (Betrag) eines Spaltenvektors: |a| = √ a’ a (vgl. 2.3.2)
ei ist der i-te Spaltenvektor der Einheitsmatrix E∈ℝ(n,n).
Hierfür ist die Kenntnis des Abschnitts 3.2 (Komplexe Arithmetik) erforderlich.
Die Angabe „über ℝ“versteht sich als Dauervoraussetzung des Abschnitts 2.5.
Auf den Nachweis der Ranginvarianz sei hier verzichtet.
C.F. Gauß (1777–1855), „Fürst der Mathematiker“, bahnbrechende Entdeckungen in nahezu allen Gebieten der Mathematik einschl. Astronomie und Physik.
Das Zeichen „ = “soll zum Ausdruck bringen, daß es sich hierbei um (wahre) Aussagen und nicht um Aussageformen (Ausdrücke in Variablen mit noch nicht bestimmter Erfüllungsmenge) handelt.
Beachte-die Äquivalenz zwischen der gegebenen und gestaffelten Form des linearen Systems ist deshalb gewährleistet, weil die „elementaren Umformungen“der Koeffizientenmatrix zugleich die Lösungsmenge des zugehörigen linearen Systems unverändert lassen (äquivalente Aussageformen haben gleiche Erfüllungsmengen!)
Auch an dieser Stelle sei noch einmal betont, daß in dieser Eigenschaft der „Nutzen“der CRAMERschen Regel zu sehen ist. nichtin der Möglichkeit, damit die Lösung des Gleichungssystems berechnen zu können.
C JORDAN (1838–1922), franz. Mathematiker (Algebra, Analysis)
Es ist ai ∈ ℝ(1,n) der ite Zeilenvektor von A ∈ ℝ(m,n)
Dabei setzen wir voraus, daß ℬ nur endlich viele Eckpunkte besitzt.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1990 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Böhme, G. (1990). Lineare Algebra. In: Algebra. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-97264-5_2
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-97264-5_2
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-540-52676-6
Online ISBN: 978-3-642-97264-5
eBook Packages: Springer Book Archive