Zusammenfassung
Für den gesamten Aufbau der Mathematik ist der Mengenbegriff von entscheidender Bedeutung. Nahezu alle mathematischen Begriffe lassen sich auf den Begriff der Menge zurückführen. Insofern durchdringt die Mengenlehre heute sämtliche mathematischen Disziplinen, erlaubt eine ökonomische und logisch präzise Beschreibung und gestaltet die Mannigfaltigkeit mathematischer Entwicklungen durchsichtiger und bis zu einem gewissen Maße einheitlich.
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Literaturnachweis
G. Cantor (1845–1918), deutscher Mathematiker (Begründer der Mengenlehre)
Lies: Für alle x der Grundmenge G gelte: Wenn x Element von A ist, dann soll x auch Element von B sein. Für diesen Sachverhalt werde vereinbarungsgemäß gesagt: „A ist Teilmenge von B“ und „A ⊂ B“ geschrieben.
John Venn (1834–1923), englischer Philosoph und Logiker. Die nach ihm benannten Diagramme sind indes eine Entdeckung von Leonhard Euler (1707–1783), der in seinen „Briefen an eine deutsche Prinzessin“bereits 1760 damit die Syllogismen der Prädikatenlogik anschaulich erklärte.
Dem liegt die stets und stillschweigend geltende logische Voraussetzung zu Grunde, daß es keine Alternative zu den beiden Möglichkeiten „eine Aussage ist wahr“und „eine Aussage ist falsch“gibt (sogenanntes „tertium non datur“: Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten).
Geißler, S.: Logische Diagramme. In „Der Mathematikunterricht“13/1967, Heft 5, S. 44-68.
Interessierten Lesern sei empfohlen: Schmidt, J.: Mengenlehre 1, BI-Hochschultaschenbücher Bd. 56/56a, Mannheim 1966.
A. de Morgan (1806–1871). englischer Mathematiker, Freund und Förderer von G. Boole.
Auf den Beweis der Eindeutigkeit verzichten wir an dieser Stelle.
„Paar“versteht sich in diesem Buche stets synonym mit „geordnetes Paar“.
Die Bezeichnungen identitiv und antisymmetrisch sind synonym zu verstehen.
Für interessierte Leser sei auf das Standardwerk: Heise, W., Quattrocchi, P.: Informations-und Codierungstheorie, Berlin etc. 1983, hingewiesen.
H. Hasse (1898–1979), deutscher Mathematiker (Zahlentheorie, Algebra)
Der mit dem Prädikatenkalkül nicht so vertraute Leser kann den Beweis übergehen und sei auf das anschliessende Beispiel verwiesen.
Vgl. die Fußnote über Relationsvorschriften in 1.2.1.
[− 1; 1]:= (x|x ∈ ℝ ∧-1 ≦ x ≦ 1): beiderseits abgeschlossenes Intervall auf ℝ.
Erklärt man (nach BOURBAKI) eine Abbildung f: A → B als das Tripel (A, B, f ) und beachtet (A1, B1, f1) = (A2, B2, f2):⇔ A1 = A2 ∧ B1 = B2 ∧ f1 = f2, so würde nach dieser Abbildungsdefinition (ℝ, ℝ, f*) ≠ (ℝ, [− 1; 1], f**) ausfallen.
Da wir Abbildungen als spezielle Relationen erklärt haben und dieser Satz in 1.2.5 für Relationen bewiesen wurde, hätte es dieses Beweises eigentlich nicht bedurft.
Wir nehmen hierzu an, daß jeder Kunde nur ein Konto besitzt.
Beachte: es gibt zu jeder Abbildung f ein f−1; f−1 ist allgemein die Umkehrrelationzu fund nur dann wieder eine Abbildung, wenn f bijektiv ist.
Man kann Graphen auch als Tripel G = (X, V, f) erklären mit der Abbildung f gemäß f: V → (x, y) | x, y ∈ X = X 2 für gerichtete Graphen f: V → (x, y | x, y ∈ X) für ungerichtete Graphen. Schlichte Graphen lassen sich damit durch die Forderungen f(k) = (x, y) mit x ≠ y bzw. f(k) = (x, y) mit x ≠ y (Schiingenfreiheit) und der Injektivität von f: k ≠ k’ ⇒ f(k) ≠ f(k’) (keine Parallelkanten) definieren. Gerichtete schlichte Graphen heißen auch Digraphen.
Eine ausführliche Behandlung der Graphentheorie und ihrer Anwendungen ist in Band 4 der „Anwendungsorientierten Mathematik“enthalten: G. Böhme, H. Kernler, H.-V. Niemeier, D. Pflügel, Aktuelle Anwendungen der Mathematik. Berlin etc. Springer-Verlag, 2. Auflage, 1989.
Dies ist historisch der erste Satz über Graphen und stammt vom „Vater der Graphentheorie“L. EULER (etwa 1736).
Gelegentlich findet sich in der mathematischen Literatur die SKOLEMisierte Form der Definition von e ohne Existenzquantor, e spielt dann die Rolle einer sog. SKOLEM-Konstanten.
vgl. ggf. Aufgabe 5 von 1.5.1.
die andere Möglichkeit der Zuordnung, c ↦ s, b ↦ q, würde das Gleiche leisten.
Solche wenigstens surjektiven Homomorphismen im engeren Sinne heißen auch Epimorphismen.
Kurt Gödel (1906–1978): österreichischer Mathematiker (Grundlagenforschung, Logik)
Solche wenigstens injektiven Homomorphismen im engeren Sinne heißen auch Monomorphismen.
Für interessierte Leser: Hofstadter, D. R.: Gödel-Escher-Bach. Klett-Cotta: Stuttgart 1985.
I. Lukasiewicz (1878–1956), polnischer Logiker, Kultusminister im Kabinett Paderewski (1919–1921). Bekannteste Anwendung der dreiwertigen Logik ist die Quantenmechanik. In diesem Buch wird in Abschnitt 4.3.1 diese Logik näher erklärt.
Vgl. Böhme, G. (Hrsg.): Prüfungsaufgaben Informatik. Springer-Verlag Berlin etc. 1984 (Fach: Algebra 1).
Hier folgt die Assoziativität schon aus der kontextfreien Fortsetzbarkeit der zunächst zweistellig definierten Operationen Max und Min auf n-stellige (n > 2) Operationen Max(x1,…,xn), Min(x1,…,xn).
Hofstadter, D. R. (1985): a.a.o.
N.H. Abel (1802–1829): norwegischer Mathematiker, bewies als erster, daß Gleichungen höher als 4. Grades im allgemeinen nicht mehr durch geschlossene Formelausdrücke lösbar sind.
In der Mathematik, versteht sich die Redeweise „es gibt ein …“stets im Sinne des Existenzquantors „es gibt mindestensein …“
Alle vom Neutralelement verschiedenen selbstinversen Elemente sind von der Ordnung 2, das Neutralelement ist selbstin vers von der Ordnung 1.
Felix Klein (1849–1925), dt. Mathematiker: Geometrie, Algebra, math. Didaktik
Zyklisch sind übrigens auch alle Gruppen, deren Ordnung kleiner als 4 ist. Der Leser überzeuge sich davon.
lies: n-Fakultät (n! = 1.2. n).
Der Zyklus (125) bedeutet, daß 1 in 2, 2 in 5 und 5 wieder in 1 übergeht, womit dieser Zyklus geschlossen ist (Klammerung). Man sagt auch, 1, 2 und 5 gehen durch „zyklische Vertauschung“ auseinander hervor. Entsprechend verdeutliche man sich die anderen Zyklen.
A. Cayley (1821–1895), engl. Mathematiker (Algebra, Geometrie, Matrizenrechnung) Verknüpfungstafeln werden auch „Cayley-Tafeln“genannt.
Bis auf Isomorphic gibt es genau 2 Sechsergruppen: die Symmetrische Gruppe S3 (|S3| = 3! = 6) und die zyklische Sechsergruppe.
J.L. Lagrange (1736–1813), franz. Mathematiker (Analysis, Mechanik, Zahlentheorie)
Wegen dieser Rückführung wird für die Verknüpfung der Komplexe das gleiche Symbol „*“ verwendet wie für die Verknüpfung der Elemente.
Der Leser beachte den Zusammenhang mit dem in 1.2.3. erklärten Begriff der Quotientenmenge,denn die Elemente der Faktorgruppe, die Nebenklassen, sind doch Äquivalenzklassen. Die Faktorgruppe ist also eine Quotientenmengen-Struktur!
Eine auch für den Nicht-Mathematiker gut lesbare Einführung und Weiterführung der in diesem Band gebotenen Grundlagen ist Mitschka, Arno: Elemente der Gruppentheorie. Freiburg-Basel-Wien: Herder 1972.
Das Nullelement wird auch „trivialer Nullteiler“genannt.
Eine ausführliche Behandlung der Polynome erfolgt in Band 2, dort mit Koeffizienten ai ∈ ℝ.
Eine ausführliche Behandlung der Struktur (C; +,) erfolgt in Kapitel 3 dieses Bandes.
G. Boole (1815–1864), engl. Mathematiker (Algebra, Logik).
Gelegentlich ist auch die Schreibweise ā zu finden.
xy:= x y etc.
Etwa mit dem Quine-McCluskey-Algorithmus und der Methode der Primimplikanten, nachlesbar bei Birkhoff, G., Bartee, T.C.: Angewandte Algebra. München und Wien 1973.
KARNAUGH, M. (1953) und VEITCH, E.W. (1952) entwickelten und publizierten als erste dieses Verfahren. Der Leser beachte den Hinweis auf VENN-Diagramme mit wohldefinierter Syntax in 1.1.3. Korrekter wäre es, von der „KARNAUGH-Sprache“(als einer Bildersprache) zu sprechen.
Die Operationszeichen wurden im Einklang mit DIN 66000 gewählt. Leider sind die Bezeichnungen in der Fachliteratur nicht einheitlich. Das mag mit daran hegen, daß die konsequente Anwendung der DIN-Vorschrift bei umfangreicheren Ausdrücken umständlich und unübersichtlich wird. In der Praxis finden wir deshalb oft die BOOLEschen Notationen xy für x ∧ y und x + y für x ∨ y, zumal diese Schreibweise mnemotechnische Vorzüge hat, da „ · “vor „ + “gilt. Mitunter findet sich als Kompromiß beider Bezeichnungen xy für x ∧ y und x ∨ y belassen, wobei man zur Klammereinsparung „ · “vor „ ∨ “rangieren läßt.
Beachten Sie: in der Schaltalgebra (und der Aussagenalgebra) sind „ ∧ “und „ ∨ “nicht mehr verbale (metasprachliche) Kürzel, sondern konkrete (objektsprachliche) Verknüpfungszeichen gemäß dieser Definition. Um Mißverständnisse zu vermeiden, werden deshalb in diesem Abschnitt diese Zeichen nur im oben genannten streng mathematischen Sinn verwendet.
Mit „Schaltalgebra“wird also das Sachgebiet, aber auch die betreffende Modellstruktur bezeichnet.
f0 besitzt keine kanonische disjunktive, f15 keine kanonische konjunktive Normalform
In der Schaltalgebra, aber auch nur dort, stehen „Äquivalenz“und „Implikation“als Namen für Verknüpfungen.Diese, historisch bedingten Bezeichnungen dürfen zu keiner Begriffsverwirrung führen: überall sonst in der Mathematik versteht man darunter (beweisbedürftige) Beziehungen,speziell in der Logik die Äquivalenzbeziehung „⇔“und die Implikationsbeziehung „ ⇒“(vgl. 1.8.4).
Sog. „positive Logik“vorausgesetzt
Aus Gründen der Zweckmäßigkeit und Übersichtlichkeit verwenden wir für die hier anfallenden Rechnungen die BOOLEschen Verknüpfungszeichen „ · “und „ + “mit der Vorrangregel „ · “vor „ + “. Der Leser überzeuge sich selbst von der Sinnfalligkeit dieser Maßnahme, indem er die DIN-gerechte Schreibweise zum Vergleich heranzieht.
Weitere Aufgaben zur Schaltalgebra findet der Leser in Böhme, G. (Hrsg.), Prüfungsaufgaben Informatik. Springer-Verlag Berlin etc. 1984.
Mehrwertige Logiken sind z.B. die Lukasiewicz Logiken oder die Fuzzylogik (vgl. Kapitel 4)
Diese Zerlegung und das Operating von Prädikaten, Subjekten etc. ist Gegenstand der Prädikatenlogik.
In diesem Abschnitt auch kurz „Ausdrücke“genannt.
Der Leser vergleiche dazu die Tafel logischer Symbole in Abschnitt 1.1.2.
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Böhme, G. (1990). Grundlagen der Algebra. In: Algebra. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-97264-5_1
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