Lineare Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Mit großen lateinischen Buchstaben werden n x n-Matrizen bezeichnet,

$$ A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1\;{\text{1}}}},...,{a_{1\;n}}} \\ { \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots } \\ {{a_{n\;1}},...,{a_{n\;n}}} \\ \end{array} } \right)\;{\text{ = (}}{a_{_{ij}}}{\text{)}} $$

mit a _ij ∈ ℝ oder ℂ. Sie bilden einen reellen oder komplexen linearen Raum, wenn man wie üblich

$$ A{\text{ + }}B{\text{ = (}}a{}_{ij}{\text{ + }}b{}_{ij}{\text{), }}\lambda A = (\lambda a{}_{ij}) $$

setzt; man kann ihn asl ${\mathbb{R}^{{n^2}}}$ (oder bei komplexen a _ij , b _ij , λ als ${\mathbb{C}^{{n^2}}}$) auffassen. In diesem Raum ist eine Multiplikation (Matrizen-Multiplikation)

$$ AB{\text{ = }}C{\text{ }} \Leftrightarrow {\text{ }}c{}_{ij}{\text{ = }}\sum\limits_{k{\text{ = 1}}}^n {a{}_{ik}{\text{ }}b{}_{kj}} $$

erklärt; sie ist nicht-kommutativ. Weiter sei an die Definition der Determine von A

$$ {\text{det }}A{\text{ = }}\sum\limits_p {{{( - 1)}^{v(p)}}{\text{ }}{a_{1{p_1}}}{a_{2{p_2}}}...{\text{ }}{a_{n{p_n}}}} $$

(1)

erinnert. Hierin durchläuft p = (p₁, ..., p _n ) alle Permutationen der Zahlen 1, ..., n; v(p) ist die Anzahl der Inversionen von p.