Funktionen in mehreren Variablen Teil 1: Differentiation

Zusammenfassung

In der mathematischen Behandlung von Naturvorgängen treten oft Funktionen auf, die von mehreren Variablen x,…,x _n abhängen (etwa von den Ortskoordinaten x, y, z, von der Zeit t, vom Druck p,…) und deren Wertebereich mehrdimensional ist. Zur Differentialrechnung mit diesen Funktionen benötigt man die gesamte in Kap. 6 entwickelte Lineare Algebra. Es ist daher vorteilhaft, die n Variablen zu einem variablen Spaltenvektor $\rm{x} = \left( \begin{gathered} x_{1} \hfill \\ \, \vdots \hfill \\ x_n \hfill \\ \end{gathered} \right) \in \mathbb{R}^n$ zusammenzufassen. Im folgenden untersuchen wir deshalb Funktionen $\rm{f}:D \to \mathbb{R}^m$ mit $D \subseteq \mathbb{R}^n$, die jedem Spaltenvektor x = (x₁,…,x_n)^T ∈ D einen mit f(x) oder f = (x₁,…,x_n) bezeichneten Vektor in $\mathbb{R}^m$ zuordnen. Hierfür schreiben wir kü

$$ \rm{f}:\mathbb{R}^n \supseteq D \to \mathbb{R}^m , $$

$$ \rm{x} = \left( \begin{gathered} x_1 \hfill \\ \,\, \vdots \hfill \\ x_n \hfill \\ \end{gathered} \right) \mapsto \rm{f}\left( {x_1 , \ldots ,x_n } \right) = \left( \begin{gathered} f_1 (x) \hfill \\ \,\,\,\,\,\, \vdots \hfill \\ f_m (x) \hfill \\ \end{gathered} \right). $$