Integralsatz, Integralformel und Potenzreihenentwicklung

Zusammenfassung

Das Zeitalter der komplexen Integration beginnt mit Cauchy. ES ist somit nur folgerichtig, da× sein Name mit nahezu jedem wichtigen Resultat dieser Theorie verknüpft ist. In diesem Kapitel werden die Cauchyschen Hauptsätze in ihrer einfachsten Form hergeleitet und ausführlich diskutiert (Paragraphen 1 und 2). Als wichtigste Anwendung zeigen wir im Paragraphen 3, da× holomorphe Funktionen lokal in Potenzreihen entwickelbar sind. „Ceci marque un des plus grands progrès qui aient jamais été réalisés dans l’Analyse“ ([Lin], S. 9/10). Als Folgerung aus dem Entwicklungssatz von CAUCHY-TAYLOR beweisen wir in 3.4 sofort den für viele überlegungen unentbehrlichen Riemannschen Fortsetzungssatz. Im Paragraphen 4 besprechen wir weitere Konsequenzen des Entwicklungssatzes. In einem abschlie×enden Paragraphen betrachten wir die Taylorreihen der speziellen Funktionen z cot z, tan z, z(sin z)^-1 um den Nullpunkt, die Koeffizienten dieser Reihen sind durch die sog. Bernoullischen Zahlen bestimmt. „Le développement de Taylor rend d’importants services aux mathématiciens“ (J. HADAMARD 1892).

Integralsatz und Integralformel sind zusammen von solcher Tragweite, dass man ohne Uebertreibung sagen kann, in diesen beiden Integralen liege die ganze jetzige Functionenthéorie conzentrirt vor (L. KRONECKER 1894).