Konvergenzbegriffe der Funktionentheorie

Zusammenfassung

Au×er Polynomen und rationalen Funktionen, die durch endlich häufige Anwendung der vier Grundrechnungsarten entstehen, kennt man zunächst keine interessanten holomorphen Funktionen. Alle weiteren Funktionen werden durch (evtl. mehrfache) Limesprozesse erzeugt, so ist z.B. die Exponentialfunktion exp z der Limes ihrer Taylorpolynome $\sum\limits_0^n {{{{z^v}} \over {v!}}}$ oder der Limes der Eulerschen Folge (1 + z/n)ⁿ. Das Prinzip, neue Funktionen durch Limesprozesse zu gewinnen, hat Gauss so beschrieben (Werke 3, S. 198): „Die transscendenten Functionen haben ihre wahre Quelle allemal, offen liegend oder versteckt, im Unendlichen. Die Operationen des Integrirens, der Summationen unendlicher Reihen… oder überhaupt die Annäherung an eine Grenze durch Operationen, die nach bestimmten Gesetzen ohne Ende fortgesetzt werden — dies ist der eigentliche Boden, auf welchem die transscendenten Functionen erzeugt werden…“.

Die Annäherung an eine Grenze durch Operationen, die nach bestimmten Gesetzen ohne Ende fortgesetzt werden — dies ist der eigentliche Boden, auf welchem die trans- scendenten Functionen erzeugt werden (GAUSS 1812).