Quantenmechanik des Wasserstoff-Atoms

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir die Schrödinger-Gleichung des Wasserstoff-Atoms lösen. Unseren Betrachtungen legen wir zunächst nicht nur speziell das Coulomb-Potential eines Elektrons im Feld der Kernladung Z, V(r)= −Ze²/(4πε₀r)zugrunde, sondern ein allgemeineres Potential V(r), das zentralsymmetrisch ist. Wie der Leser aus der klassischen Physik weiß, gilt bei einem zentralsymmetrischen Potentialfeld der Drehimpuls- Erhaltungssatz, der uns schon als Flächensatz des zweiten Keplerschen Gesetzes der Planetenbewegung bekannt ist. Mit anderen Worten, wir wissen, daß in der klassischen Physik der Drehimpuls bei einem zentralsymmetrischen Potential zeitlich konstant ist. Dies legt es nahe, in der Quantentheorie danach zu fragen, ob der Drehimpuls mit der Gesamtenergie gleichzeitig meßbar ist. Dafür haben wir als Kriterium an der Hand, daß die Drehimpulsoperatoren mit dem Hamilton-Operator vertauschbar sein müssen. Wie wir bereits bemerkt haben, sind die Komponenten l _x , l _y , l _z des Drehimpulses l nicht gleichzeitig meßbar. Dagegen sind z. B. l _z und l² gleichzeitig meßbar. Eine längere, aber simple Rechnung zeigt nun, daß diese beiden Operatoren auch mit dem Hamilton-Operator vertauschbar sind. Da diese Rechnung uns keine neuen physikalischen Erkenntnisse liefert, führen wir sie hier nicht aus.