Zusammenfassung
Der Inhalt dieses Kapitels ist weitgehend eine Wiederholung von Schulwissen. Die Darstellung wird daher i.a. knapp gehalten und auf eine Herleitung der Begriffe, Regeln und Sätze meist verzichtet. Die Trennung zwischen dem mathematisch-anschaulichen und dem strengformalen Teil 1 entfällt in diesem Kapitel. Stattdessen sollen Erläuterungen anhand von Beispielen Ihr Wissen auffrischen2.
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References
vgl. Vorwort
Sofern Ihre „Wissens-Lücken“ durch diese knappe Darstellung nicht geschlossen werden können, finden Sie eine ausführliche Behandlung der in diesem Kapitel vorkommenden Begriffe sowie einige Grundlagen, die wir hier voraussetzen, z. B. im „Brückenkurs“ (vgl. Vorwort) oder in van Briel, W. und R. Neveling: Grundkurs Analysis, München 1981. Zur eingehenden Wiederholung von mathematischen Grundlagen vgl. Merz, W. und H. Kubla, W. Schlotter, G. Stein: Mathematik für Sie, 2 Bände, München 1973 oder Schwarze, J.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Elementare Grundlagen für Studienanfänger, Herne-Berlin 1983.
Vgl. hierzu Beckmann, M. J. und H. P. Künzi: Mathematik für Ökonomen I, Berlin-Heidelberg-New York 1969.
Für den Unterschied zur Umkehrabbildung f−1 vgl Abschnitt 6.1.5.
Auf den Begriff einer Wertetabelle gehen wir bei der Erörterung der graphischen Darstellung einer Funktion noch näher ein, vgl. Abschnitt 6.1.2.
Die Graphen der Funktionen dürften eigentlich nur aus einzelnen Punkten bestehen, da in unserem Beispiel x nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Der besseren Anschaulichkeit halber sind die Graphen jedoch als ausgezogene Geraden gezeichnet.
Als Nachfolger einer natürlichen Zahl x bezeichnet man die Zahl x + 1.
Nur bei Funktionen, deren Definitionsbereich aus wenigen Elementen besteht, können vollständige Wertetabellen angegeben werden, die alle Elemente des Definitionsbereiches und die zugehörigen Funktionswerte enthalten; vgl. Beispiele 6.1.2 und 6.1.3.
Es ist üblich, die waagerechte Achse mit x und die senkrechte Achse mit f (x) (oder y) zu beschriften; es gibt aber Ausnahmen hiervon.
Die Identität ist die Funktion id: R → R, y =id (x) = x.
Bei senkrechtem Verlauf handelt es sich nicht um den Graphen einer Funktion.
Die Funktion f mit f (x) = x2 ist nur auf (— „, 0] bzw. [0, „) umkehrbar, da sie dort jeweils streng monoton ist. Die Funktionsgleichung für f−1: R+ → (— „,0] lautet x = − √y.
Vgl. Übungsaufgaben 6.1.3a) und 6.1.4d).
Die Gleichung y = mx + b heißt Hauptform der Geradengleichung. Sind die Steigung m der Geraden sowie ein Punkt (x1y1)T auf der Geraden gegeben, so gilt:. Diese Gleichung heißt Punkt-Steigungs-Forrn der Geradengleichung. Sind zwei Punkte (x1,y1)T und (x2, y2)T gegeben, durch die die Gerade verläuft, so gilt: Diese Gleichung heißt Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung.
Es gibt eine solche Formel für n = 2, diese behandeln wir in Übungsaufgabe 6.2.3. Für n = 3 und n = 4 gibt es auch noch allgemeine Formeln zur Berechnung der Nullstellen. Diese sind recht kompliziert und wir behandeln sie nicht (siehe hierzu z.B. Ringleb, F. O.: Mathematische Formelsammlung, Berlin 1967, S. 36ff.).
Zur Erstellung einer Wertetabelle für ein Polynom ist häufig das sogenannte Horner-Schema nützlich (vgl. BK).
Der Graph ist nicht anhand der wenigen Daten in Tab. 6.2.1 gezeichnet, vgl. Abschnitt 6.1.2.
Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.
Probe durch Ausmultiplizieren!
P2 (und damit auch P4) besitzen aber noch sogenannte komplexe Nullstellen, vgl. insbesondere Satz 6.2.4
Die Menge der komplexen Zahlen lautet: C = x x = a + i b, a ∈ R, b ∈ R, i = √−1. Sie wird z. B. im Brückenkurs ausführlich behandelt.
„in C“ bedeutet, daß wir komplexe Nullstellen zulassen.
Vgl. Vorwort
Leonhard Euler (1707–1783), Schweizer Mathematiker.
Allgemein gilt: Sind a und b die Katheten und c die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, so besteht die Beziehung a2 + b2 = c2.
Nicht-trigonometrische periodische Funktionen kommen z. B. bei Lagerhaltungsmodellen vor, vgl. Beispiel 6.4.1.
Zum Nachweis dieser Gleichungen werden die Additionstheoreme benutzt, vgl. Übungsaufgabe 6.2.6a).
Eine ausführliche Behandlung der Folgen sowie auch des Grenzwertbegriffes finden Sie z. B. im Brückenkurs (vgl. Vorwort).
In Lehrbüchern werden anstelle von geschweiften Klammern auch runde Klammern verwendet, z. B. (an)n ∈ N.
oder 0, 1,..., m, m ∈ N.
lateinisch: recurrere = zurücklaufen.
Diese Folge bezeichnet man übrigens als Folge der Fibonacci-Zahlen, nach dem Mathematiker Leonardo von Pisa (etwa 1180–1228), der auch Fibonacci (Sohn des Bonacci) genannt wurde. Sie spielt z. B. bei der Beschreibung des Wachstums von Populationen eine Rolle.
Vgl. auch Übungsaufgabe 6.3.2b).
lim ist die Abkürzung von (lat.) Limes = Grenze.
Hier findet die sog. Dreiecksungleichung Anwendung: für reelle Zahlen x und y gilt: x + y ≦ x + y.
Allgemein kann man für jedes (feste) k ∈ N zeigen: lim
Vgl. Abschnitt 6.3.2.
Für die Dimensionen gilt: S [ME], t[ZE] a [ME/ZE] ⇒ f (t) [ME]. Zudem muß sinnvollerweise S > s ≧ 0 sein.
fist eine periodische Funktion mit der Periode T (vgl. Definition 6.2.3), denn es gilt: f (t + T) = f (t) für alle t ∈ [0, ∞).
Dabei ist die Übereinstimmung der Schranken mit den Funktionswerten an den Intervallrandpunkten ein Spezialfall, da es sich um eine streng monoton fallende Funktion handelt.
Um die Beschränktheit zu zeigen, hätte die Angabe irgendwelcher Schranken ausgereicht.
Vgl. Bemerkung 6.1.6.
K.T.W. Weierstraß, 1815–1897, deutscher Mathematiker.
B. Bolzano, 1781–1848, italienischer Mathematiker.
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Gal, T., Kruse, HJ., Piehler, G., Vogeler, B., Wolf, H. (1983). Funktionen einer Variablen. In: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Heidelberger Lehrtexte Wirtschaftswissenschaften. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-96771-9_1
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