Temperatur- und Kühlungsprobleme

Zusammenfassung

Wenn in einem festen Körper eine beliebige Temperaturverteilung herrscht, findet eine Wärmeleitung statt, die in jedem Punkt gekennzeichnet ist durch einen Wärmestromdichtevektor (pro Zeiteinheit durch die Einheit der Fläche geleitete Wärmemenge) mit den drei Komponenten q ₁, q ₂, q ₃, für die allgemein q _i geschrieben werde. Nach dem Fourierschen Wärmeleitungsgesetz ist

$${{q}_{i}}=-\lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}},$$

(19.1(1))

wo λ die Wärmeleitfähigkeit ist und x _i für die drei Koordinaten x _l, x ₂, x ₃ steht. Mit ϱ als Dichte und c als spezifischer Wärmekapazität ist die innere Energie eines Raumelementes dx _l dx ₂ dx ₃ gegeben durch ϱcT dx _l dx ₂ dx ₃, womit die Energiebilanz des Elementes

$$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}d{{x}_{1}}d{{x}_{2}}d{{x}_{3}}=-\sum\limits_{i}{-\left\{ \left[ \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}}+\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}} \right)d{{x}_{i}} \right]-\lambda \frac{\partial T}{\partial {{X}_{i}}} \right\}}d{{x}_{j}}d{{x}_{k}}$$

wird. Hierbei ist jeweils j ≠ i, k ≠ i. Aus dieser Gleichung folgt unmittelbar

$$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=\sum\limits_{i}{\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}} \right),$$

(19.1(2))

womit die allgemeine Wärmeleitungsgleichung für den wärmequellenfreien isotropen Körper gefunden ist. Wenn λ mit hinreichender Näherung unabhängig von der Temperatur ist und wenn die als Temperaturleitzahl bezeichnete Gruppe a = λ/ϱc eingeführt wird, geht Gl. 19.1(2) über in

$$\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\lambda }{\rho c}\sum\limits_{i}{\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial x_{1}^{2}}}=a{{\nabla }^{2}}T.$$

(19.1(3))

Bei stationärem Temperaturfeld und konstantem λ gilt also insbesondere

$$\sum{\frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}}}=0oder{{\nabla }^{2}}T=0,$$

(19.1(4))

woran bemerkenswert ist, daß hier kein Stoffwert mehr auftritt.