Thermische Eigenschaften von Kristallgittern

Zusammenfassung

Im Abschn. 4.2 hatten wir gesehen, wie sich die 3rN Bewegungsgleichungen eines periodischen Festkörpers bei Annahme harmonischer Kräfte durch einen Wellenansatz weitgehend entkoppeln lassen. Wir waren dabei mit (4.7) zu einem Gleichungssystem der Ordnung 3r gelangt, welches zum gegebenen Wellenzahlvektor q die Wellenamplituden der Atome innerhalb einer Elementarzelle miteinander koppelt. Mathematisch läßt sich zeigen, daß sich ein solches Gleichungssystem durch eine lineare Koordinatentransformation auf sogenannte Normalkoordinaten weiter völlig entkoppeln läßt. Wir erhalten damit also insgesamt 3rN unabhängige Bewegungsformen des Kristalles mit harmonischer Zeitabhängigkeit und einer Frequenz, die durch die Dispersionsrelation ω(q) gegeben ist. Jeder dieser Bewegungsformen kann man unabhängig von allen anderen Energie zuführen oder entziehen. Allerdings sind die Energiebeträge gequantelt wie bei einem einzigen harmonischen Oszillator:

$$ {E_n} = \left( {n + \frac{1}{2}} \right)\hbar \omega {\rm{ }}n = {\rm{0,1,2,}} \ldots . $$

((5.1))

Klassisch entspricht der Quantenzahl n die Amplitude der Schwingung gemäß

$$ M{\omega ^2}\langle {s^2}\rangle \, = \,(n + \frac{1}{2})\,\not h\omega . $$

((5.2))