Differentialgleichungen und spezielle Funktionen

Zusammenfassung

Differentialgleichungen sind Gleichungen zwischen Variablen und deren Ableitungen. Wir unterscheiden gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen. Gewöhnliche Differentialgleichungen sind charakterisiert durch eine unabhängige Variable x, eine abhängige Variable y und die totale Ableitung $\frac{{dy}}{{dx}}$. Eine gewöhnliche Differentialgleichung hat die Form

$$F(x,y,\frac{{dy}}{{dx}} \ldots \frac{{{d^n}y}}{{d{x^n}}}) = o$$

(1.1)

Partielle Differentialgleichungen haben mehrere unabhängige Variable x, y, z ..., eine abhängige Variable f(x,y,z ...) und partielle Ableitungen $\frac{{\partial f}}{{\partial x}},\frac{{\partial f}}{{\partial y}},\frac{{\partial f}}{{\partial z}} \ldots$ bis zu einer höchsten Ordnung n. Eine Gleichung dieser Art ist allgemein gegeben als

$$G(x,y,z \ldots ,f,\frac{{\partial f}}{{\partial x}},\frac{{\partial f}}{{\partial y}},\frac{{\partial f}}{{\partial z}} \ldots ) = o$$

(1.2)

Wir wollen zunächst die Eigenschaften gewöhnlicher Differentialgleichungen studieren.