Trennungseigenschaften

Zusammenfassung

In metrischen Räumen lassen sich disjunkte abgeschlossene Mengen durch disjunkte offene Umgebungen „trennen“ (vgl. 1.32(b)). In beliebigen topologischen Räumen braucht dies keineswegs zu gelten. In einem Indiskreten topologischen Raum X lassen sich noch nicht einmal zwei verschiedene Punkte durch disjunkte Umgebungen voneinander trennen, denn X besitzt nur die offenen Mengen X und Ø. Die Existenz genügend vieler offener Mengen, die gewisse Mengen voneinander trennen, fordert man durch Trennungsaxiome. Manche Trennungseigenschaften lassen sich in die Frage nach der Existenz stetiger, reellwertiger, nicht konstanter Funktionen übersetzen.