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Differential- und Integralrechnung

  • Eduard Batschelet

Zusammenfassung

Die Differentialrechnung beruht auf dem Begriff der Änderungsrate. In Worten ausgedrückt tritt sie auf als Wachstumsrate, relatives Wachstum, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Reaktionsrate, Dichte und als Steigung einer Kurve. Wir beginnen mit einigen Einführungsbeispielen:

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References

  1. 1.
    Streng genommen müßte festgesetzt werden, ob eine Partikel, die genau in einen der Punkte O oder P fällt, angerechnet wird oder nichtGoogle Scholar
  2. 2.
    Einer der Entdecker der Infinitesimalrechnung, Isaac Newton ( 1642–1727), verwendete das Symbol y das in der Dynamik auch heute noch gebräuchlich ist. Unser y′ ist dem y ähnlich. Der andere Entdecker, Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646–1716), führte das Symbol ein. Er sagte nicht, daß Δy und Δx nach null streben, sondern erklärte diese Inkremente als “infinitesimal” oder “unendlich klein” und schrieb dafür dy und dx. Doch erzeugte diese Begriffsbildung für zweihundert Jahre große Konfusion. Heute hat “ unendlich klein” höchstens intuitive Bedeutung. In Formeln vermeide man eine Verwechslung von dx mit d· xGoogle Scholar
  3. 3.
    Das Resultat gleicht dem Kürzen eines Bruches. Doch sollte beachtet werden, daß die Symbole *** und keine Brüche im gewöhnlichen Sinne sindGoogle Scholar
  4. 4.
    Hier bezeichnen to und tz feste Zeitpunkte. Der Index z ist der letzte Buchstabe des Alphabets, so daß tz auf das Ende des Intervalls hindeutetGoogle Scholar
  5. 5.
    Die Bezeichnung in (9.4.3) stammt von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), einem deutschen Philosophen, Mathematiker und Diplomaten. Die Ähnlichkeit der Fonnein (9.4.2) und (9.4.3) ist offenkundig. Das Integralzeichen ∫ ist ein langgezogener Buchstabe S, der auf Summation deutet. Das Differential dx wurde gewählt, da Δx nach Null strebtGoogle Scholar
  6. 6.
    [a, b] ist das Intervall x|a ≤x≤b. Die Endpunkte x = a und x = b gehören zum Intervall. Mannennt deshalb die Menge [a, b], geschrieben mit eckigen Klammern, ein abgeschlossenes Intervall. Entsprechend heißt (a, b) = x|a < x < b ein offenes Intervall. Hier verwendet man runde Klammern. Man kann auch halboffene Intervalle (a, b] und [a, b) definierenGoogle Scholar
  7. 7.
    Zur Berechnung einer Fläche nach der Formel “Länge mal Breite” muß man annehmen, dass Länge und Breite in der gleichen Längeneinheit gemessen werdenGoogle Scholar
  8. 8.
    Der Leser möge auch den Fall, wof(x) monoton abnimmt, ins Auge fassen. Man kann leicht zeigen, daß der Grenzprozeß zum gleichen Ergebnis der Formel (9.5.5) führtGoogle Scholar
  9. 9.
    Das Wort “Grenze” wird hier nicht im Sinn von Grenzwert gebrauchtGoogle Scholar
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    Galileo Galilei (1564–1642), italienischer Physiker und AstronomGoogle Scholar
  11. 11.
    In Abschn. 9.4 brauchten wir Δx für eine Größe, die man nach Null streben läßt, während dx ein bloßes Symbol war. In der angewandten Mathematik nimmt man es mit dieser Unterscheidung nicht so genau. So wird dx oft in der Bedeutung einer hinreichend kleinen Größe gebrauchtGoogle Scholar
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    Achille Ernest Delesse (1817–1881), französischer GeologeGoogle Scholar
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    Das Zeichen ≈ wird “ungefähr gleich” gelesen. Dieselbe Bedeutung haben Zeichen wie ≅ oder =Google Scholar
  14. 14.
    Georg Simon Ohm (1789–1854), deutscher Mathematiker und PhysikerGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1980

Authors and Affiliations

  • Eduard Batschelet
    • 1
  1. 1.Mathematisches InstitutUniversität ZürichZürichSchweiz

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