Zusammenfassung
Wenn die Ableitung y′ =f′(t) einer unbekannten Funktion y =f(t) gegeben ist, müssen wir gewöhnlich die Stammfunktion bestimmen. Dieses Problem wurde in den Absehn. 9.3 und 9.5 behandelt. Manchmal ist die Ableitung y′ nicht als Funktion von t gegeben, sondern in einer Gleichung enthalten, die auch die unbekannte Funktion y =f(t) einschließt. Als Beispiel betrachten wir die Gleichung
mit den bekannten Koeffizienten a, b, c. Eine derartige Gleichung nennt man eine Differentialgleichung, da sie nicht nur die unbekannte Funktion enthält, sondern auch deren Ableitung. Das Problem besteht darin, eine geeignete Funktion zu finden, welche die Differentialgleichung erfüllt.
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References
Adolf Fick (1829–1901), deutscher Physiologe und Biophysiker
Vgl. die Regel am Ende von Abschn. 12.1
P. F. Verhulst (1804–1849), belgischer Mathematiker. Es ist nicht bekannt, warum er das Wort “logistisch” gewählt hat
Die logistische Funktion kann durch Translation und Streckung aus der hyperbolischen Funktion y = tanh x gewonnen werden (s. Abschn. 10.11). Vom Tangens hyperbolicus her wissen wir, daß der Graph symmetrisch zum Wendepunkt ist (vgl. Aufgabe 10.11.4 am Ende von Kap. 10)
Vgl. die Regel am Ende von Abschn. 12.1
In der Chemie wird dieser Vorgang eine Reaktion zweiter Ordnung genannt. Die Chemiker nennen deshalb auch (11.5.19) eine Gleichung zweiter Ordnung. In der Mathematik herrscht ein anderer Sprachgebrauch: Eine Differentialgleichung heißt von zweiter Ordnung, wenn sie die zweite Ableitung der unbekannten Funktion (und keine höhere Ableitung) enthält
Der Leser darf den Funktionswert υ(t — τ) nicht mit einem Produkt von zwei Faktoren υ und t — τ verwechseln
Die Formel liefert bloß den unbestimmten Ausdruck 0/0, während das gesuchte Resultat ergibt
Alfred James Lotka (1880–1949), gebürtiger Oesterreicher, amerikanischer Biophysiker. Vito Volterra (1860–1940), italienischer Mathematiker.
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Batschelet, E. (1980). Gewöhnliche Differentialgleichungen. In: Einführung in die Mathematik für Biologen. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-96539-5_11
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