Uniforme Räume

Zusammenfassung

Begriffe wie „gleichmäßige Stetigkeit“ und „Cauchy-Folge“, die aus der Analysis bekannt sind, können im Rahmen der Theorie der topologischen Räume nicht erfaßt werden. Dazu wäre es nötig, Umgehungen verschiedener Punkte der „Größe“ nach zu vergleichen. In metrischen Räumen ist so etwas möglich; ε-Umgebungen verschiedener Punkte zu gleichem ε > 0 können als „gleich groß“ angesehen werden. Es liegt also auf der Hand einen neuen Raumtyp einzuführen, der nicht so speziell ist wie ein metrischer Raum, der es aber gestattet, einen solchen Größenvergleich durchzuführen. Das hat A. Weil 1937 getan (Sur les espaces à structures uniformes et sur la topologie générale, Act.Sci.Ind.551) durch Einführung der uniformen Räume, Um viele schöne Eigenschaften der metrischen Räume zu retten, wird so vorgegangen, daß man zu einer vorgegebenen Menge X die Teilmengen von X×X (nicht wie zur Definition einer Topologie Teilmengen von X) auszeichnet, die den Axiomen U₁)- U₃), entsprechend den Axiomen M₁)- M₃) einer Metrik d : X×X→R, genügen. Für solche Teilmengen (die bekanntlich Relationen heißen) wollen wir zunächst einige „Rechenregeln“ zusammenstellen: