Nicht-meßbare Mengen

Zusammenfassung

Bisher wurde nichts darüber ausgesagt, ob die Familie der meßbaren Mengen oder die Familie der Mengen mit der Baireschen Eigenschaft nicht alle Teilmengen der Zahlengeraden enthalten. Wir wissen, daß eine beliebige Menge, die mit Hilfe höchstens abzählbar vieler Vereinigungs-, Durchschnitts- oder Komplementbildungen aus einer gegebenen Familie von abgeschlossenen oder offenen Mengen oder Mengen vom Maß 0 gewonnen wurde, meßbar ist. Es läßt sich auch zeigen, daß jede analytische Menge meßbar ist. (Unter einer analytischen Menge versteht man das stetige Bild einer Borelschen Menge.) Nach einem Resultat von GÖDEL [18, S. 388] ist die Hypothese, daß eine nichtmeßbare Menge existiert, die sich als stetiges Bild des Komplements einer gewissen analytischen Menge darstellen läßt, verträglich mit den Axiomen der Mengenlehre, vorausgesetzt, daß letztere untereinander widerspruchsfrei sind. Es ist kein konkretes Beispiel einer nicht-meßbaren Menge bekannt, die eine derartige Darstellung zuläßt (vgl. jedoch [40, S. 17]). Dennoch ist es unter Benutzung des Auswahlaxioms leicht zu zeigen, daß nichtmeßbare Mengen existieren. Wir werden mehrere derartige Konstruktionen betrachten. Die älteste und einfachste Konstruktion stammt von VITALI (1905) [18, S. 59]. Bezeichne Q die Menge der rationalen Zahlen, betrachtet als Untergruppe der additiven Gruppe der reellen Zahlen. Die Nebenklassen von Q bilden eine Zerlegung der Zahlengeraden in eine überabzählbare Familie disjunkter Mengen, von denen jede kongruent (unter einer Translation) zu Q ist. Aus dem Auswahlaxiom folgt, daß eine Menge V existiert, die mit jeder der Nebenklassen von Q genau ein Element gemeinsam hat.