Der Satz von FUBINI

Zusammenfassung

Das Lebesguesche Maß auf der reellen Zahlengeraden wird definiert durch Überdeckungsfolgen von Intervallen, während beim Lebesgueschen Maß in der Ebene Überdeckungsfolgen von Rechtecken benutzt werden. Wir werden nun untersuchen, welche Beziehungen zwischen diesen beiden Maßen bestehen. Es ist klar, welcher Art die Antwort ist, die wir zu erwarten haben. In der elementaren Analysis lernen wir, daß sich die Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen f ⩽ g mit Hilfe der Formel

$$ \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|\;{\text{dx}}} $$

berechnen läßt. Die Fläche wird also dadurch berechnet, indem man sie „in Scheiben zerschneidet“. Die Verallgemeinerung dieser Formel, die das Maß einer meßbaren Teilmenge A der Ebene als das Integral des linearen Maßes ihrer Schnitte senkrecht zu einer der Koordinatenachsen darstellt, wird als Satz von FUBINI bezeichnet. Wir werden diesen Satz nicht in voller Allgemeinheit bringen, sondern lediglich den Fall betrachten, daß A eine Nullmenge ist. Der Satz besagt dann, daß fast alle vertikalen (oder horizontalen) Schnitte von A das Maß 0 haben.