Maß und Kategorie auf der Zahlengeraden

Zusammenfassung

Die Begriffe „Maß“ und „Kategorie“ basieren nicht zuletzt auf dem Begriff der Abzählbarkeit. Der Satz von CANTOR, der besagt, daß kein Intervall reeller Zahlen abzählbar ist, bildet einen natürlichen Ausgangspunkt für das Studium von Maß und Kategorie. Wir erinnern daran, daß eine Menge abzählbar genannt wird, wenn sich ihre Elemente eineindeutig den natürlichen Zahlen 1, 2, ... zuordnen lassen. Eine Menge heißt höchstens abzählbar, wenn sie endlich oder abzählbar ist. Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar, da zu jeder positiven ganzen Zahl k nur endlich viele (höchstens 2k — 1) rationale Zahlen p/q in reduzierter Form (q > 0, p und q relativ prim) existieren, für die |p| + q = k gilt. Numerieren wir zunächst diejenigen, für welche k = 1 ist, dann diejenigen, für welche k = 2 ist usw., so erhalten wir eine Folge, in welcher jede rationale Zahl genau einmal auftritt. Wir kommen nun zum Satz von CANTOR.