Theorie der linearen Integralgleichungen

Zusammenfassung

Es sei K (s,t) eine im Gebiete a ≦ s ≦ b, a ≦ t ≦ b definierte und dort stetige Funktion der beiden Variablen s und t, und es sei λ ein Parameter; ferner seien f (s) und ϕ (s) zwei im Intervalle a ≦ s ≦ b stetige Funktionen der Variablen s, welche durch die Funktionalgleichung

$$f\left( s \right) = \varphi \left( s \right) - \lambda \smallint K\left( {s,t} \right)\varphi \left( t \right)dt$$

(1)

verknüpft sind. (Wir wollen ein für allemal daran festhalten, daß Integrale ohne weitere Bezeichnung des Integrationsgebietes immer über das oben gekennzeichnete „Grundgebiet“der Variablen zu erstrecken sind.) Durch die Funktionalgleichung (1), welche wir eine lineare Integralgleichung zweiter Art mit dem Kern K (s, t) nennen wollen, wird jeder stetigen Funktion ϕ (s) eine andere f (s) zugeordnet, und zwar in linearer Weise, so daß einer linearen Kombination c ₁ ϕ ₁ + c ₂ ϕ ₂ die entsprechende Kombination c ₁ f ₁ + c ₂ f ₂ zugehört. Wir werden uns hier vorzugsweise mit der Auflösung der Integralgleichung beschäftigen, d. h. mit der Frage nach der Bestimmung von ϕ (s), wenn f (s) gegeben ist. Dabei setzen wir, sofern nicht ausdrücklich das Gegenteil gesagt ist, voraus, daß alle vorkommenden Größen reell sind.