Allgemeines über den abstrakten Hilbertschen Raum

Zusammenfassung

Wir haben das am Schluß von I. 4. aufgestellte Programm durchzuführen: Den H. R., der die mathematische Basis zur Behandlung der Quantenmechanik abgibt, so zu charakterisieren, daß dabei keine anderen Begriffe Verwendung finden als diejenigen, die nachher in der Quantenmechanik gebraucht werden, und die demgemäß im „diskreten“ Funktionenraume F _Z der Folgen x _v (v = 1, 2,...) genau so Sinn haben wie im „kontinuierlichen“ F_Ω der Wellenfunktionen ϕ(q₁⋯q _k ) (q₁,...,q _k durchlaufen den Zustandsraum Ω). Diese Begriffe sind, wie wir schon andeuteten, die folgenden:

• α) Das „skalare Multiplizieren“, d. h. das Multiplizieren einer (komplexen) Zahl a mit einem Element f des H. R .: af. In F _Z wird so aus x _v ax _v , in F_Ω aus ϕ(q₁⋯q _k ) aϕ(q₁x⋯q _k ).

• β) Das Addieren und Subtrahieren von zwei Elementen f, g des H. R.: f ± g. In F _Z wird so aus x _v und y _v bzw. x _v ± y _v , in F_Ω aus ϕ(q₁⋯q _k ) und ψ(q₁⋯q _k ) bzw. ϕ(q₁⋯q _k ) ± ψ(q₁⋯q _k ).

• γ) Das „innere Multiplizieren“ von zwei Elementen f, g des H. R., welches aber nicht wie α), β) ein Element des H. R., sondern eine (komplexe) Zahl ergibt: (f, g). In F _Z wird so aus x _v und ${y_v}\,{\sum {v\;{x_v}\overline y } _v},$ in FΩ aus ϕ(q₁⋯q _k ) und $\psi ({q_1} \cdots {q_k})\,\underbrace {\smallint \cdots \smallint }_\Omega \,\varphi ({q_1} \cdots {q_k})\,\overline {\psi \,({q_1} \cdots {q_k})} \,d{q_1} \cdots d{q_k}.$

(Die Definitionen in F _Z und F_Ω sind noch durch entsprechende Konvergenzbeweise zu ergänzen. Diese werden wir in II. 3. erbringen.)