Matrixdarstellung von Observablen

Zusammenfassung

Mit ψ _m (r _i σ _i )m,= 1, 2… seien die (zeitunabhängigen) Eigenzustände eines atomaren Systems, etwa eines Atoms mit N Spinelektronen bezeichnet. Dabei stehe r _i für die Ortskoordinaten, σ _i für die Spinkoordinaten aller Elektronen (i= 1, 2,…, N). Es gilt also die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (etwa (23.6))

$$H{\psi _m}\left( {{r_i},{\sigma _i}} \right) = {W_m}{\psi _m}\left( {{r_i},{\sigma _i}} \right)$$

(37.1)

mit den Eigenwerten Wm. Führt man jetzt zeitabhängige Zustände

$${\Psi _m}\left( {{r_i},{\sigma _i}t} \right) = {\psi _m}\left( {{r_i},{\sigma _i}} \right){e^{i{\omega _m}t}}$$

(37.2)

mit (vgl. (13.4))

$${\omega _m} = - \frac{{{W_m}}}{\hbar }$$

(37.3)

ein, so genügen diese der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung

$$H{\Psi _m}\left( {{r_i},{\sigma _i}t} \right) = - \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{{\partial t}}{\Psi _m}\left( {{r_i},{\sigma _i}t} \right)$$

(37.4)

, die, wie man sich durch Einsetzen von (37.2) leicht überzeugt, auf die zeitunabhängige Gl. (37.1) zurückführt. Für späteren Gebrauch merken wir noch an, daß

$$\Psi _m^*{\Psi _m} = \psi _m^*{\psi _m}$$

(37.5)

.