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Über das Fundamentalproblem

  • K. Wendler
Part of the Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems book series (LNE, volume 45)

Zusammenfassung

In Abschnitt 3 hatten wir gesehen, daß sich die quadratische und lineare Optimierung der folgenden Problemstellung unterordnet:
$$ \begin{array}{*{20}c} {Ax + y = a} \\ {x \leqq o,y \geqq o} \\ \end{array} $$
(51)
$$ x'y = o. $$
(52)
Im quadratischen Fall war
$$ A = \left( {\begin{array}{*{20}c} O & B \\ { - B'} & { - 2C} \\ \end{array} } \right), $$
(53)
wo B die Koeffizientenmatrix des linearen Ungleichungssystems und C die positiv semidefinite Matrix der quadratischen Form der Zielfunktion bedeutete. Im Fall der linearen Optimierung war C = O zu setzen. Die negativ semidefinite Matrix A gemäß (53) hat nun eine besondere Struktur, die z.B. darin besteht, daß sich ihr symmetrischer und ihr schiefsymmetrischer Anteil nicht überlappen. Auch diese Eigenschaft bleibt, wie man zeigen kann, unter Hauptaustauschschritten erhalten. Bei dem in Abschnitt 3 und 4 dargestellten Algorithmus wurde diese besondere Struktur der Matrix A jedoch gar nicht benutzt. Es wurde lediglich die negative Semidefinitheit von A verwendet. Dies legt es nahe, allgemeiner das System (51), (52) zu betrachten. Der dargestellte Algorithmus der Hauptaustauschschritte liefert dann konstruktive Beweise für die Existenz von Lösungen des Problems (51), (52) unter gewissen Voraussetzungen für die Matrix A,

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1971

Authors and Affiliations

  • K. Wendler
    • 1
  1. 1.Universität MannheimDeutschland

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