Ein Verfahren der Hauptaustauschschritte zur Lösung quadratischer und linearer Optimierungsaufgaben

Zusammenfassung

Wir legen die Aufgabenstellung

$$\min \{ Q\left( x \right) = p'x + x'cx/Bx \leqq b,x \geqq o\}$$

(15)

zugrunde, wo C eine positiv semidefinite (r×r)-Matrix und B eine (m×r)- Matrix ist, die Dimensionen der Vektoren seien dazu passend gewählt. Dann ist Q konvex, und die KUHN-TUCKER-Bedingungen lauten für die Aufgabe (15)

$$\left\{ {\matrix{ {{\rm{B}}{\rm{x}}{\rm{ + y}}{\rm{ = }}{\rm{b}}} \cr {{\rm{2}}{\rm{c}}{\rm{x}}{\rm{ + }}{\rm{B'u}}{\rm{ - }}{\rm{v}}{\rm{ = }}{\rm{ - }}{\rm{P}}} \cr } } \right.$$

(16)

$${\rm{x'v}}{\rm{ = }}{\rm{o}}{\rm{,}}{\rm{y'u}}{\rm{ = }}{\rm{o}}$$

(17)

$$x \ge o,v \ge o,y \ge o,u \ge o.$$

(18)

Die lineare Optimierung ist in Form des Spezialfalles C = O sowohl in der Aufgabenstellung (15) als auch in den Optimalitätsbedingungen (16) bis (18) enthalten. Das in diesem Abschnitt darzustellende Verfahren funktioniert ohne besondere Vorkehrungen in jedem der drei Fälle: C streng positiv definit (d.h. Q streng konvex), C positiv semidefinit, C = O. In Abschnitt 7 werden wir sehen, daß der Algorithmus auch noch auf andere Problemstellungen anwendbar ist. Ein weiterer wesentlicher Vorteil ist, daß man am Anfang keine zulässige Basislösung zu kennen braucht.