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Der Graph der kombinatorisch äquivalenten Matrizen und Hauptaustauschschritte

  • K. Wendler
Part of the Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems book series (LNE, volume 45)

Zusammenfassung

Jede Klasse kombinatorisch äquivalenter Matrizen (mit dem Repräsentanten A) kann man auf einfache Weise als einen Graphen G(A) auffassen: Die Punkte von G(A) sind die Matrizen, und zwei Punkte werden genau dann durch eine Kante miteinander verbunden, wenn die entsprechenden Matrizen durch irgendeinen Austauschschritt auseinander hervorgehen. Dieser Graph G(A) ist endlich, weil A überhaupt nur endlich viele Teilmatrizen besitzt, er ist nach Konstruktion zusammenhängend, und er ist vollständig1), denn nach 1.4 kann man je zwei seiner Punkte (d.h. Matrizen) auch durch einen einzigen Austauschschritt ineinander überführen. Jeder Punkt von G(A) steht für eine bestimmte Vertauschungs- situation von Komponenten des n-Vektors x mit Komponenten des m-Vektors y, d.h. für eine bestimmte Basis. Läßt man Permutationen innerhalb der Basis- und Nichtbasisvariablen unberücksichtigt, so gilt für die Anzahl P(G(A)) der Punkte von G(A) offensichtlich
$$ {\text{P(G(A))}}\frac{{\left( {{\text{m + n}}} \right){\text{!}}}} {{{\text{m!}}{\text{n!}}}}{\text{ = (}}\begin{array}{*{20}c} {m + n} \\ n \\ \end{array} {\text{) = (}}\begin{array}{*{20}c} {m + n} \\ n \\ \end{array} {\text{)}}. $$
(10)
Dabei gilt das Gleichheitszeichen, wenn alle Austauschschritte möglich sind, d.h. wenn A keine singulären Untermatrizen enthält.

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1971

Authors and Affiliations

  • K. Wendler
    • 1
  1. 1.Universität MannheimDeutschland

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