Kategorien von Kategorien und von Funktoren

  • H. Schubert
Part of the Heidelberger Taschenbücher book series (HTB, volume 65)

Zusammenfassung

Die Komposition von Funktoren 2.2.6 legt es nahe, Kategorien zu betrachten, deren Objekte Kategorien und deren Morphismen Funktoren sind. 2.6.7 führt auf Kategorien, deren Objekte Funktoren CD und deren Morphismen natürliche Transformationen sind. Damit wird eine Präzisierung der Definition erforderlich, welche Antinomien ausschließt wie „Menge aller Mengen“ oder „Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“. Hierzu bestehen drei Möglichkeiten:
  1. 3.1.1

    Man legt die Mengenlehre von v. Neumann-Bernays-Gödel zugrunde. Bei ihr ist der Grundbegriff „Klasse“. Mengen sind solche Klassen, die Elemente von Klassen sind. Daneben gibt es Klassen, „Unmengen“, die nicht Element einer Klasse sind. Es existiert die universelle Klasse, die alle Mengen als Elemente besitzt. Für Einzelheiten verweisen wir etwa auf den Anhang in J. L. Kelley: General Topology und auf J. Schmidt: Mengenlehre I.

     
  2. 3.1.2

    Man gründet die Mathematik nicht auf eine axiomatische Mengenlehre, sondern nach Lawvere auf eine axiomatische Theorie der „Kategorie der Kategorien“, welche eine Mengenlehre als Theorie der diskreten Kategorien umfaßt.

     
  3. 3.1.3

    Man erweitert die (übliche) Mengenlehre von Zermelo-Fraenkel nach einem Vorschlag von Grothendieck durch Einführung von Universen. Das ist bei Brinkmann-Puppe [6] näher ausgeführt und kommt darauf hinaus, daß unzugängliche Kardinalzahlen (Tarski) zugelassen werden. Wir begnügen uns mit einigen Hinweisen, die (hoffentlich) für das Verständnis des Folgenden ausreichen.

     

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© Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1970

Authors and Affiliations

  • H. Schubert
    • 1
  1. 1.Mathematisches InstitutUniversität DüsseldorfDeutschland

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