Zusammenfassung
Das Problem der Raumformen entspringt aus der Tatsache, daß durch die Maßverhältnisse, die in einem begrenzten Raumstück herrschen, die Geometrie in ihrer Gesamtausdehnung noch nicht eindeutig festgelegt ist. Schneiden wir z. B. aus der euklidischen Ebene einen von zwei parallelen Geraden begrenzten Streifen aus und heften die einander gegenüberliegenden Punkte seiner beiden Ränder so aneinander, daß ein Zylinder entsteht. Hierbei werden die Maß Verhältnisse in einem genügend kleinen Flächenteilchen in keiner Weise geändert ; dagegen ist die Geometrie im großen eine völlig andere geworden.
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Literatur
Vgl. Kap. X, S. 277.
Man sieht hierbei besonders deutlich, wie die Geraden der euklidischen Ebene in die verschiedenen Geradenarten der Zylinderform übergehen.
Wir nennen diese Raumform „zweiseitig“, weil die sie tragende Fläche zweiseitig ist; auf S. 262 werden wir auch eine einseitige Zylinderform kennenlernen, die zu einer entsprechenden einseitigen Fläche gehört.
Zahlreiche weitere Beispiele für inhomogene Raumformen sind in dem Buch von Killing: Einführung in die Grundlagen der Geometrie Bd. I, Paderborn 1893, angeführt.
Dieses allgemeine Problem ist zuerst von Klein und Killing untersucht worden; Klein: Zur nichteuklidischen Geometrie. Math. Ann. Bd. 37, 1890; wieder abgedruckt in Kleins Ges. Math. Abh., Bd. I, S. 371; Killing, 1. c. Ferner ist es von Hopf behandelt worden: Zum Clifford-Kleinschen Raumproblem. Math. Ann. Bd. 95, 1925. — Klein übersieht aber die einseitige Zylinderform, Killing sogar beide einseitige Formen. Das Killingsche Resultat findet sich mehrfach auch in der modernen Literatur wiedergegeben, vgl. etwa Coolidge: The elements of noneuclidean geometry, Clarendon Press, 1909, S. 240. — Pasch-Dehn: Vorlesungen über neuere Geometrie, Berlin 1926, S. 208. Bezüglich der Tatsache, daß fünf Raumformen der angegebenen Art existieren, s. z. B. Hopf l. c.
Diese Fläche ist von Klein als erstes Beispiel einer einseitigen geschlossenen Fläche angegeben worden; wir wollen sie daher den Kleinschen Schlauch nennen. Vgl. Klein: Über Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale, Leipzig 1882; wieder abgedruckt in Kleins Ges. Math. Abh., Bd. III, S. 571.
Zur Orientierung dienen etwa folgende Bücher: Klein: Elementarmathematik II. Hufwitz-Courant: Funktionentheorie (2. Aufl.). v. Kerékjártó: Vorlesungen über Topologie, I. Weyl: Die Idee der Riemannschen Fläche.
S. Klein: Zur Nicht-euklidischen Geometrie: Math. Ann. Bd. 37, 1890 oder Ges. Abh. I, S. 353.
Killing l. c. ; Hopf 1. c. Die Aufzählung bei Killing ist unvollständig.
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Klein, F. (1967). Das Problem der Raumformen. In: Rosemann, W. (eds) Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 26. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-95026-1_9
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