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Die Beziehungen zwischen der elliptischen, euklidischen und hyperbolischen Geometrie

  • Felix Klein
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 26)

Zusammenfassung

Im vorigen Kapitel haben wir eine Anzahl von Maßbestimmungen kennengelernt, die sich logisch gleichberechtigt neben die euklidische Geometrie stellen. Der größte Teil dieser Maßbestimmungen besitzt aber eine Struktur, die sie für praktische Anwendungen in der Auβenwelt ungeeignet macht. In der Tat werden wir verlangen, daß die Bewegungen einer in der Außenwelt anwendbaren Maßbestimmung mit den uns wohlbekannten Bewegungen der starren Körper übereinstimmen. Wir denken uns einen derartigen Körper, der von zwei sich schneidenden Ebenen begrenzt ist, also etwa einen Holzkeil, in einer bestimmten Ruhelage, die in Abb. 125 schraffiert ist. Sodann drehen wir den Körper um die Schnittgerade der beiden begrenzenden Ebenen, so daß die zweite Ebene in die Lage kommt, in der sich die erste Ebene vor der Drehung befunden hat. Die Erfahrung zeigt uns, daß wir stets durch eine endliche Anzahl derartiger Drehungen in die Nähe der Ausgangslage zurückkommen, ja sogar über sie hinausgelangen können. Diese Eigenschaft ist aber bei der hyperbolischen und parabolischen Messung von Winkeln nicht vorhanden, da wir dort durch die entsprechende Abtragung untereinander kongraenterWinkel nie über bestimmte Grenzlagen herauskommen können (vgl. die Abb. 114 und 120).

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Literatur

  1. 1).
    Wir werden in Kapitel X, § 4 sehen, daß sich (auch für c = c h) ein Stück der nichteuklidischen Ebene vom Krümmungsmaß −1/4c2 kongruent auf ein reelles Flächenstück im euklidischen Raum abbilden läßt, das ebenfalls die Krümmung K = −1/4c2 besitzt; der auf ihm in bekannter Weise definierte und analytisch von K abhängende „Inhalt“ einer Figur läßt sich nicht nur im im elliptischen (K > o), sondern auch im hyperbolischen (K < 0) Fall auf die betreffende nichteuklidische Ebene übertragen. — Bezüglich einer elementaren Definition des Inhaltsbegriffes in der nichteuklidischen Geometrie vgl. man z. B. Dehn: Über den Inhalt sphärischer Dreiecke, Math. Ann. Bd. 60, 1905.Google Scholar
  2. 1).
    Die Formel läßt sich in jeder der drei Geometrien, insbesondere auch in der euklidischen, am einfachsten dadurch beweisen, daß man um jede der vier Ecken eine Kugel schlägt, für die durch die Ecken ausgeschnittenen sphärischen Dreiecke die Formeln zwischen Exzeß und Dreiecksinhalt aufschreibt und die so erhaltenen vier Formeln kombiniert. — Merkwürdigerweise ist auch in der euklidischen Geometrie dieser einfache Satz über die Winkelsumme eines Tetraeders fast allgemein unbekannt, obwohl er schon 1783 von de Gua in der Arbeit: Propositions neuves, et non moins utiles que curieuses, sur le tétraèdre, Hist. Acad. R. des Sc. Paris 1783 (erschienen 1786) bewiesen und von Brianchon in der Abhandlung: Théorème nouveau sur les polyèdres, Journ. de l’Ec. Polyt. Bd. 25, 1837 auf Polyeder verallgemeinert wurde.Google Scholar
  3. 2).
    Poincaré: Sur la généralisation d’un théor’me élémentaire de Géométrie Cpt. rend., T. 140, 1905. é Dehn: Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der Nicht-Euklidischen Geometrie, Math. Ann. Bd. 61, 1905. — Hopf Die Curvatura integra Cliff ord-Kleinscher Raumformen, Nachr. v. d. Ges. d. Wiss., Göttingen, Mathem.-physik. Kl. .1925.Google Scholar
  4. 3).
    Es ist \({K_n} = \frac{2}{{\left( {\frac{{n - 1}}{2}} \right)!}}{\pi ^{\frac{{n + 1}}{2}}}\) für ungerades n, \({K_n} = \frac{{{2^n}\left( {{\textstyle{n \over 2}} - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}}{\pi ^{\frac{n}{2}}}\) rades n; vgl. P. H. Schoute, Mehrdimensionale Geometrie II (Sammlung Schubert 36), S. 288 ff.Google Scholar
  5. 1).
    Für diese Messungen selbst haben sich im Gauß’schen Nachlaß keine Belege gefunden. Dagegen äußert sich Gauß über die Möglichkeit einer derartigen Messung in einem Brief an Taurinus vom 8. November 1824: „Wäre die nichteuklidische Geometrie die wahre und jene Konstante in einigem Verhältnis zu. solchen Größen, die im Bereich unserer Messungen auf der Erde oder am Himmel liegen, so ließe sie sich a posteriori ausmitteln.„ (Gauß Werke, Bd. X, 2, Stäckel: Gauβ als Geometer, S. 33.) Weitere Mitteilungen finden sich nur in Sartorius von Waltershausen: Gauβ zum Gedätnißipzig 1856, S. 53 und 81.Google Scholar
  6. 1).
    Lobatschefskij, Über die Anfangsgründe der Geometrie (russisch geschrieben), 1829–30; ins Deutsche übertragen von Engel: Lobatschefskij, Zwei geometrische Abhandlungen. Teubner 1898 (vgl. bes. S. 22–24).Google Scholar
  7. 2).
    Vgl. Stäckel: Wolfgang und Johann Bolyai: Geometrische Untersuchungen, Erster Teil. Leipzig 1913. S. 154–157.Google Scholar
  8. 3).
    Vierteljahrsschrift der Astronomischen Gesellschaft, 1899, S. 337.Google Scholar
  9. 1).
    Besonders kraß findet sich dieser Gedanke bei Helmholtz ausgesprochen, welcher behauptet, daß man in der elliptischen Geometrie seinen eigenen Hinterkopf vor sich sehen müßte.Google Scholar
  10. 2).
    Harzer: Die Sterne und der Raum, Jahresber. der Deutschen Math. Ver., Bd. 17, S. 237. 1908.MATHGoogle Scholar

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© Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1967

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  • Felix Klein

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