Die Beziehungen zwischen der elliptischen, euklidischen und hyperbolischen Geometrie

Zusammenfassung

Im vorigen Kapitel haben wir eine Anzahl von Maßbestimmungen kennengelernt, die sich logisch gleichberechtigt neben die euklidische Geometrie stellen. Der größte Teil dieser Maßbestimmungen besitzt aber eine Struktur, die sie für praktische Anwendungen in der Auβenwelt ungeeignet macht. In der Tat werden wir verlangen, daß die Bewegungen einer in der Außenwelt anwendbaren Maßbestimmung mit den uns wohlbekannten Bewegungen der starren Körper übereinstimmen. Wir denken uns einen derartigen Körper, der von zwei sich schneidenden Ebenen begrenzt ist, also etwa einen Holzkeil, in einer bestimmten Ruhelage, die in Abb. 125 schraffiert ist. Sodann drehen wir den Körper um die Schnittgerade der beiden begrenzenden Ebenen, so daß die zweite Ebene in die Lage kommt, in der sich die erste Ebene vor der Drehung befunden hat. Die Erfahrung zeigt uns, daß wir stets durch eine endliche Anzahl derartiger Drehungen in die Nähe der Ausgangslage zurückkommen, ja sogar über sie hinausgelangen können. Diese Eigenschaft ist aber bei der hyperbolischen und parabolischen Messung von Winkeln nicht vorhanden, da wir dort durch die entsprechende Abtragung untereinander kongraenterWinkel nie über bestimmte Grenzlagen herauskommen können (vgl. die Abb. 114 und 120).