Die Einordnung der euklidischen Metrik in das projektive System

  • Felix Klein
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 26)

Zusammenfassung

In dem ersten Teil des Buches haben wir die Grundlagen der projektiven Geometrie entwickelt. In ihr treten die metrischen Begriffe, wie z. B die Länge oder der Winkel, nicht auf, weil sie den projektiven Transformationen gegenüber, die dort betrachtet wurden, nicht invariant sind. Das vorliegende Kapitel soll zeigen, wie sich die Vorstellungen der euklidischen Geometrie in das projektive System einordnen lassen. Wir beginnen damit, daß wir die verschiedenen metrischen Formeln aufstellen, die wir für unsere weiteren Untersuchungen brauchen.

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Literatur

  1. 1).
    Der Name isotrop rührt davon her, daß die beiden Scharen dieser Geraden bei den Bewegungen der euklidischen Geometrie in sich selbst übergehen (vgl. S. 136), also ihre Richtung nicht ändern (iσoς τϱoπς = gleiche Richtung). Die zweite Bezeichnung Minimalgerade weist darauf hin, daß alle endlichen Strecken dieser Geraden die Länge Null besitzen.Google Scholar
  2. 2).
    Ein Punkt, eine Gerade und eine Ebene heißt eigentlich, wenn er bzw. sie nicht unendlich fern liegt (vgl. S. 2).Google Scholar
  3. 3).
    Wie wir S. 136 sehen werden, gehen nämlich alle Kreise der Ebene durch diese beiden Punkte hindurch.Google Scholar
  4. 1).
    Dieser nillteilige Kegelschnitt ist nämlich dadurch ausgezeichnet, daß alle Kugeln des Raumes durch ihn hindurchgehen (vgl. S. 136).Google Scholar
  5. 1).
    Der Leser möge nachprüfen, an welcher Stelle der Tabellen S. 85 und 92 sich diese quadratischen Gebilde finden.Google Scholar
  6. 1).
    Laguerre: Note sur la théorie des foyers. Nouvelles Annales de Math., T. 12, S. 64.Google Scholar
  7. 1).
    Auf S. 107 haben wir die Kollineationen, die einen ovalen Kegelschnitt der Ebene invariant lassen, auch dann als Drehungen bezeichnet, wenn zwei reelle Fixpunkte auf dem Kegelschnitt vorhanden sind, obwohl diese Drehungen zunächst keine Ähnlichkeit mit den euklidischen Drehungen zu haben schienen. Jetzt sehen wir aber, daß die euklidischen Drehungen im imaginären Gebiet ein ähnliches Verhalten zeigen, so daß die obige Bezeichnung gerechtfertigt erscheint.Google Scholar
  8. 1).
    Die beiden Kreispunkte bzw. der Kugelkreis werden durch eine Gleichung in Geraden bzw. Ebenenkoordinaten, aber durch zwei Gleichungen in Pnnktkoor-dinaten dargestellt (vgl. S. 86 und 93). Hieraus folgt unmittelbar, daß diese Gebilde nicht zu sich selbst dual sind. In der Tat würde in der Ebene den beiden Kreispunkten dual ein Geradenpaar bzw. im Raum dem Kugelkreis ein Kegel entsprechen.Google Scholar

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© Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1967

Authors and Affiliations

  • Felix Klein

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