Zusammenfassung
In diesem Schlußkapitel wollen wir zeigen, daß die nichteuklidische Geometrie nicht lediglich wegen der Einsichten systematischer und axiomatischer Natur, die sie gewährt, von Interesse ist, sondern daß sie auch mit anderen Gebieten der Mathematik in Zusammenhang steht, sich bei ihrer Behandlung als nützliches Handwerkszeug erweist und in ihnen fruchtbare Anwendung findet. Wir werden dabei nur so weit gehen, daß diese Zusammenhänge erkennbar werden, und im übrigen auf leicht zugängliche Literatur verweisen.
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Literatur
Bianchi-Lukat: 1. c.
Bianchi-Lukat: 1. c., sowie Study: Über nichteuklidische und Liniengeometrie. Jahresber. d. D.M.V. 11, 1902.
Definition der Isomorphie S. 213, Anm. 1.
Bezüglich, der Längen- und Winkelmessung in diesem Modell vgl. S. 299 ff.
Der Leser vergleiche die Klassifikation der hyperbolischen Bewegungen S. 250 ff.
Siehe z. B. Hurwitz-Courant: Funktionentheorie, 2. Aufl., 1925.
Über binäre Formen mit linearen Substitutionen in sich, Math. Ann. 9; wieder abgedruckt in Kleins Ges. Math. Abh. II, S. 245.
Begründung s. Klein a. a. O.
Die Polyedergruppen sind z. B. in Klein, Elementarmathematik I, 1924, S. 129 ff. eingehend behandelt. Auch die unendlichen Substitutionsgruppen lassen sich mittels des betrachteten Zusammenhangs klassifizieren; s. Klein-Fricke, Automorphe Funktionen I.
Als Literatur zu diesem Paragraphen, zu dessen Verständnis einige funktionentheoretische Kenntnisse vorausgesetzt werden müssen, nennen wir: Klein-Fricke: Automorphe Funktionen; Hurwitz-Courant: Funktionentheorie (3. Teil); Weyl: Die Idee der Riemannschen Fläche.
Näheres siehe : Klein: Über lineare Differentialgleichungen der zweiten Ordnung, autographierte Vorlesung, 1894; Bieberbach: Δu = e u und die automorphen Funktionen, Math. Ann. Bd. 77, 1916.
Z. B.: Dehn: Über unendliche diskontinuierliche Gruppen, Math. Ann. 71, 1912. — Gieseking: Analyt. Untersuchungen über topologische Gruppen, Diss. Münster, 1912. — J. Nielsen: Zur Topologie der geschlossenen Flächen, Saertryk af Kongresberetningen, Kopenhagen, 1926. — Brouwer: Aufzählung der Abbildungsklassen endlichfach zusammenhängender Flächen, Math. Ann. 82, 1921.
Als Literatur zu diesem Paragraphen nennen wir Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe, Jahresber. der D. M. V., Bd. 19, 1910; wieder abgedruckt in Klein, Ges. Math. Abh., Bd. I. — Ferner Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, Bd. II, 1927.
Dieses Gebilde ist der Schnitt des unendlich fernen Raumes mit der Hyperebene t = 0 und dem Hyperzylinder x 2, + y 2 + z 2 = 0.
Infolge der Ausartung gehen die fundamentalen Gebilde auch noch bei bestimmten Ähnlichkeitstransformationen in sich über (vgl. S. 186), die hier jedoch nicht in Betracht kommen, weil sie die zugrunde gelegten Gleichungen nicht invariant lassen.
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Klein, F. (1967). Ausblicke auf Anwendungen der nichteuklidischen Geometrie. In: Rosemann, W. (eds) Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 26. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-95026-1_11
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