Zusammenfassung
In den beiden ersten Teilen dieses Buches haben wir die nichteuklidische Geometrie auf der Grundlage der projektiven Geometrie entwickelt. Dieser Weg ist der bequemste Zugang, schließt sich aber keineswegs an die historische Entwicklung an. Wir wollen daher in diesem Kapitel über die Geschichte der nichteuklidischen Geometrie berichten, wobei wir zugleich mannigfache Beziehungen zu anderen mathematischen Disziplinen kennenlernen werden.
This is a preview of subscription content, log in via an institution.
Buying options
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Learn about institutional subscriptionsPreview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
An Euklid-Ausgaben zitieren wir: Heiberg: Euklidis Elementa, Teubner 1883 (diese Ausgabe enthält nur den griechischen und lateinischen Text); ferner für die hier in Frage kommenden Sätze die deutsche Übertragung in dem Buche von Engel und Stächel: Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauβ, Leipzig 1895. — Bezügl. allgemeiner Orientierung über Euklid und die Rolle der Axiome usw. vgl. man Klein: Elementarmathematik II.
Den Leser, der sich, näher mit diesen Untersuchungen beschäftigen will, verweisen wir auf Engel und Stäckel: Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauβ, Leipzig 1895; in diesem Werk sind die in Betracht kommenden Arbeiten in deutscher Übertragung abgedruckt.
Der von jedem Makel befreite Euklid oder ein geometrischer Versuch, die Voraussetzungen der ganzen Geometrie zu begründen.
Stäckel: Gauβ als Geometer, Gauß’ Werke Bd. X 2, Abh. 4.
Lobatschefskij hat folgende Schriften über die Parallelentheorie veröffentlicht:
Eine Reihe von Arbeiten in russischer Sprache in den Schriften der Universität Kasan (von 1829 an); zwei dieser Abhandlungen sind von Engel ins Deutsche übersetzt worden: N. J. Lobatschefskij: Zwei geometrische Abhandlungen, Leipzig 1898/99; in diesem Buche befindet sich auch eine Lebensbeschreibung von Lobatschefskij.
Géometrie imaginaire, Crelles Journ. Bd. 17. Die gleichzeitig erschienene russische Ausgabe ist von Liebmann ins Deutsche übersetzt worden, da sich die beiden Texte nicht völlig decken: N. J. Lobatschefskijs imaginäre Geometrie und Anwendung der imaginären Geometrie auf einige Integrale, Leipzig 1904.
Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlin 1840; ein kleines, ziemlich unansehnliches Buch.
Pangeometrie, 1855, gleichzeitig in französischer und russischer Sprache erschienen. In dieser Arbeit gibt Lobatschefskij eine systematisch aufgebaute Bearbeitung seiner Untersuchungen. Deutsch in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften, Bd. 130. Ferner vergleiche man die Gesammelten Werke Lobatschefskijs, 2 Bde., Kasan 1883 und 1886. Der erste Band enthält die russischen, der zweite die deutschen und französischen Publikationen. Augenblicklich wird in Rußland eine neue Ausgabe der gesammelten Werke vorbereitet.
Wolfgang Bolyai: Tentamen juventutem studiosam in elementa Matheseos purae introducendi (Versuch, die studierende Jugend in die Elemente der reinen Mathematik einzuführen) ; mit einem Anhang von Johann Bolyai: Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens (Anhang, die absolut wahre Raumlehre enthaltend), 1832/33. Ferner nennen wir an dieser Stelle ein zweibändiges Werk von Stäckel: Wolfgang und Johann Bolyai: Geometrische Untersuchungen, Leipzig 1913; in dem ersten Bande findet sich eine eingehende Lebensbeschreibung der beiden Männer.
Vgl. Gauß’Werke Bd. X 2, Abh. 4, Stachel: Gauβ als Geometer, S. 31.
„Im Großen“ brauchen geodätische Linien diese sie charakterisierende Eigenschaft nicht zu haben. Beispiel: die Kugel und ihre Großkreise. — Näheres s. z. B. Blaschke: Differentialgeometrie I, § 83.
In den Abbildungen 244 und 215 liegen die Normalenschnitte, die zu den beiden Hauptkrümmungsradien gehören, senkrecht bzw. wagerecht. In Abb. 215 zeigt der Hauptkrümmungsradius, der zu dem senkrechten Normalenschnitt gehört, nach rechts, und derjenige, der zu dem wagerechten Normalenschnitt gehört, nach links.
Gauß’ Werke Bd. IV, Disquisitiones circa superficies curvas, S. 236.
In diesem Fall (wie überhaupt bei den Flächen konstanter Krümmung, vgl. S. 285) ist die Übereinstimmung des Krümmungsmaßes auch hinreichend für die Abwickelbarkeit der betreffenden Flächen aufeinander. Alle Flächen, deren sämtliche Punkte eine verschwindende Krümmung besitzen, sind somit auf die Ebene abwickelbar.
Vgl. die Bemerkungen über die Mongesche Schule S. 10.
Allgemeine Untersuchungen über krumme Oberflächen. Wieder abgedruckt Gauß’ Werke Bd. IV, S. 217. Vgl. ferner über diese ganze Entwicklung: Gauß’ Werke Bd. X2, Abh. 4, Stachel, Gauβ als Geometer, S. 103ff.
Literatur über die Flächen konstanter Krümmung ist in der Enzyklopädie d. math. Wiss. Bd. III 3, 1 ; v. Lilienthal, Besondere Flächen, S. 333—344 angegeben.
Minding (Professor in Dorpat) Crelles Journ. Bd. 19 u. 20, 1839/40.
Vgl. Gauß’ Werke Bd. X 2, Abh. 4, Stäckel, Gauβ als Geometer, S. 109.
Saggio di Interpretazione delle Geometria non-euclidea (Versuch, die nicht-euklidische Geometrie anschaulich darzustellen), Giornale di Matematiche Bd. 6, 1868. Wieder abgedruckt in den Opere Mat. di Beltrami, Mailand 1902, Bd. I, S. 374. Es ist bezeichnend, wie Beltrami zu Beginn seiner Arbeit die Beschäftigung mit der nichteuklidischen Geometrie verteidigt und sich auf die „überragende Autorität“ eines Gauß beruft (Anspielung auf den Briefwechsel Gauß-Schu-macher, vgl. S. 276).
Transactions of the American Math. Soc., Bd. 2. 1901. Wieder abgedruckt in Hilbert, Grundlagen der Geometrie, als Anhang V.
Herausgegeben von Dedekind in Bd. 13 der Göttinger Abh.; wieder abgedruckt in Riemanns Werken, S. 272; neu herausgegeben und erläutert von Weyl, 2. Aufl., Berlin 1921.
In der modernen Tensoranalysis der Riemannschen Mannigfaltigkeiten bezeichnet man diesen Ausdruck als Krümmungstensor. Im übrigen vergleiche man S. 193, wo auf die Mißverständnisse hingewiesen ist, die sich besonders in der philosophischen Literatur aus dem Ausdruck „Krümmungsmaß“ ergeben haben.
Über die tatsächlichen Grundlagen der Geometrie, Vortrag, gehalten 1868 in der Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte zu Heidelberg; Über die Tatsachen, die der Geometrie zugrunde liegen, Göttinger Nachrichten 1868, Nr. 9. Beide Arbeiten sind wieder abgedruckt in den Wiss. Abh. von Helmholtz Bd. II, S. 610 bzw. 618, Leipzig 1883. Wir verweisen in diesem Zusammenhang auf eine dritte interessante Arbeit von Helmholtz: Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome, Heft 3 der Populär-wiss. Vorträge von Helmholtz, S. 21, Braunschweig 1876.
Vgl. etwa Lie: Theorie der Transformationsgruppen Bd. III S. 437, Leipzig 1893. Ferner Klein: Gutachten zur Verteilung des Lobatschewsky-Preises, Math. Ann. Bd. 50; wieder abgedruckt in Kleins Ges. Math. Abh. Bd. I, S. 384.
Z. B. Weyl: Mathematische Analyse des Raumproblems, 1923. Eine physikalische Bedingung, welche das Auftreten einer quadratischen Differentialform nach sich zieht, findet sich in Courant: Bernhard Riemann und die Mathematik der letzten hundert Jahre, Naturwissenschaften 1926, Heft 52, S. 1275 1277.
Bezüglich der historischen Zusammenhänge vgl. Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Math, im 19. Jahrhundert. Bd. I, 1926, S. 174ff. Ferner die entsprechenden Bemerkungen in Kleins Ges. Math. Abh. Bd. I, in denen auch die diesbezüglichen Arbeiten von Klein abgedruckt sind.
Dehn: Die Legendreschen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck, Math. Ann. Bd. 53, 1900 (vgl. insbesondere die Zusammenstellung der Ergebnisse S. 439).
Vgl. die weiterhin angegebene Literatur.
Bianchi-Lukat: Vorlesungen über Differentialgeometrie, 1, Aufl., 1899, Kap. XXII.
Study: Nachtrag zu dem Aufsatz: Über nichteuklidische und Liniengeometrie, Jahresber. d. D.M.Y. 11, 1902.
Editor information
Rights and permissions
Copyright information
© 1967 Springer-Verlag Berlin · Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Klein, F. (1967). Die Geschichte der nichteuklidischen Geometrie; Beziehungen zur Axiomatik und zur Differentialgeometrie. In: Rosemann, W. (eds) Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 26. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-95026-1_10
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-95026-1_10
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-642-95027-8
Online ISBN: 978-3-642-95026-1
eBook Packages: Springer Book Archive