Elektronen im periodischen Potentialfeld

  • A. Sommerfeld
  • H. Bethe
Part of the Heidelberger Taschenbücher book series (HTB, volume 19)

Zusammenfassung

Die Hypothese der Existenz freier Elektronen hat, wie wir im ersten Teil dieses Artikels gesehen haben, in Verbindung mit der Fermischen Statistik sehr viel zum Verständnis der Vorgänge in Metallen beigetragen. Als Haupterfolge sind das Wiedemann-Franzsche Gesetz, die Kleinheit der spezifischen Wärme des Elektronengases und die Theorie des Richardsoneffektes zu verzeichnen. Jedoch ist es nicht möglich, die Größe und Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit zu berechnen1, und außerdem ergeben sich Schwierigkeiten bezüglich Größenordnung und Vorzeichen, sobald man etwas kompliziertere Phänomene wie Widerstandsänderung im Magnetfeld, thermoelektrische Effekte usw. zu behandeln versucht (Ziff. 6 und 7). Um diese Schwierigkeiten zu lösen, muß man die Wechselwirkung der Elektronen mit den Metallatomen im einzelnen berücksichtigen.

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Literatur

  1. 1.
    C. Bellia, ZS. f. Phys. Bd. 74, S. 655. 1932.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  2. 2.
    N. H. Frank, ZS. f. Phys. Bd. 63, S. 596. 1931; vgl. auch den S. 360 zitierten Bericht.ADSCrossRefGoogle Scholar
  3. 1.
    Die „freie Weglänge“ mußte in Ziff. 5 ja unbestimmt bleiben.Google Scholar
  4. 2.
    D. h. von allen außer dem, auf das das Potential wirkt.Google Scholar
  5. 1.
    Vgl. F. Bloch, ZS. f. Phys. Bd. 52, S. 555. 1928; sowie auchADSCrossRefGoogle Scholar
  6. 1a.
    R. Peierls, Ann. d. Phys. Bd. 4, S. 121. 1930; H. Bethe, ebenda Bd. 87, S. 55. 1928;ADSCrossRefGoogle Scholar
  7. 1b.
    Ph. M. Morse, Phys. Rev. Bd. 35, S. 1310. 1930.ADSCrossRefGoogle Scholar
  8. 2.
    Vgl. P. P. Ewald, Ann. d. Phys. Bd. 54, S. 519 u. 557. 1917.ADSCrossRefGoogle Scholar
  9. 1.
    Vgl. R. Peierls, ZS. f. Phys. Bd. 53, S. 255. 1929.ADSCrossRefGoogle Scholar
  10. 2.
    Vgl. F. Bloch, ZS. f. Phys. Bd. 52, S. 555. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  11. 3.
    Dies soll durch den Index 0 beim Flächenelement d f 0 angedeutet werden.Google Scholar
  12. 1.
    Nach R. Peierls, 1. c.Google Scholar
  13. 2.
    Für Spezialfall s. R. de L. Kronig u. W. G. Penney, Ptoc. Roy. Soc. London Bd. 130, S. 499. 1931; vgl. auch Ziff. 10d, 22, 23.ADSCrossRefGoogle Scholar
  14. 1.
    Es gibt also Übergänge nach je einem Zustand jedes Energiebandes.Google Scholar
  15. 1.
    Aus solchen Wellenpaketen ein Orthogonalsystem zu konstruieren, wäre höchst kompliziert und undurchsichtig.Google Scholar
  16. 2.
    Über deren Zulässigkeit vgl. Ziff. 33.Google Scholar
  17. 1.
    R. de L. Kronig u. W. G. Penney, Proc. Roy. Soc. London Bd. 130, S. 499. 1931.ADSCrossRefGoogle Scholar
  18. 1.
    Daß die obere Grenze jedes Energiebandes von P unabhängig ist, liegt an unserem speziellen Potentialfeld.Google Scholar
  19. 1.
    P. M. Morse, Phys. Rev. Bd. 35, S. 1310. 1930; M. J. O. Strutt, Lamésche, Mathieusche und verwandte Funktionen in Physik und Technik. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, l.Band, 3. Heft. Berlin: Julius Springer 1932.ADSCrossRefGoogle Scholar
  20. 2.
    R. Peierls, Ann. d. Phys. Bd. 4, S. 121. 1930; H. Bethe, ebenda Bd. 87, S. 55. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  21. 2.
    P. P. Ewald, Ann. d. Phys. Bd. 54, S. 519 u. 557. 1917.ADSCrossRefGoogle Scholar
  22. 1.
    L. Brillouin, Quantenstatistik, S. 281 ff. Berlin 1931.Google Scholar
  23. 1.
    L. Brillouin, 1. c.Google Scholar
  24. 1.
    M. Brillouin, Quantenstatistik, S. 312.Google Scholar
  25. 2.
    Dies ist z. B. bei der Theorie der Feinstruktur der Röntgenabsorptionskanten wesentlich. (Ziff. 23)Google Scholar
  26. 3.
    Nach R. de L. Kronig, ZS. f. Phys. Bd. 70, S. 317. 1931.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  27. 1.
    In der Tat entspricht der Zustand k̄ = 0 einem K-Elektron (Ziff. 12, Ende) sein Eigenwert ist also bei Ag etwa —25000 Volt statt 0 bei freien Elektronen.Google Scholar
  28. 2.
    F. Bloch, ZS. f. Phys. Bd. 52, S. 555. 1929.ADSCrossRefGoogle Scholar
  29. 1.
    Wenigstens, wenn das Metallgitter ein Bravaissches Gitter ist. Für Gitter mit Basis vgl. Gleichung (12.17).Google Scholar
  30. 1.
    Das K-Elektron eines Na-Atoms geht etwa einmal in 5 Tagen zum Nachbaratom über.Google Scholar
  31. 2.
    Wenigstens dann, wenn der Atomzustand E 0 ein s-Zustand ist — und nur für diesen Fall gilt unsere bisherige Theorie, da wir stillschweigend vorausgesetzt haben, daß zur Energie E 0 nur eine Eigenfunktion Ψ 0 im freien Atom gehört. Die Eigenfunktionen der s-Elektronen haben nämlich (vgl. z. B. V. Guillemin u. C. Zener, ZS. f. Phys. Bd. 61, S. 199. 1930) ihre Knoten im allgemeinen weit im Inneren des Atoms, so daß im weitaus überwiegenden Teil des Integrationsgebietes in (12.11) Ψ 0(r) und Ψ 0 (r — n) das gleiche Vorzeichen haben. VU ist andererseits wohl immer negativ, d. h. durch das Hinzutreten weiterer bindender Atome wird das Elektron fester gebunden (seine potentielle Energie erniedrigt).ADSCrossRefGoogle Scholar
  32. 1.
    Vgl: H. Bethe, Ann. d. Phys. Bd. 3, S. 133. 1929.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  33. 2.
    Außerdem läßt sich für die meisten wichtigen Fälle zeigen, daß die für unsere Betrachtungen wesentlichen Symmetrieeigenschaften des Potentials auch für das von den anderen Atomen erzeugte Potential erfüllt sind.Google Scholar
  34. 1.
    Wir sind den Herren Schnaidt und Widenbauer dafür zu großem Dank verpflichtet.Google Scholar
  35. 2.
    Derart, daß die Eigenwerte mit den beobachteten Werten übereinstimmten.Google Scholar
  36. 3.
    Die Eigenfunktion des s-Elektrons hat zwar zwei Knotenflächen, welche Kugeln um den Kern bilden. Doch sind die Beiträge der Gebiete im Inneren dieser Knotenflächen verschwindend klein.Google Scholar
  37. 4.
    E. Wigner und F. Seitz, Phys. Rev. Bd. 43, S. 804. 1933.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  38. 1.
    Z. B. aus den Oszillatorstärken für Wasserstoff (vgl. etwa H. Bethe, ds. Handb. Bd. XXIV/l, S. 443) mit gebührender Berücksichtigung der Abschirmung.Google Scholar
  39. 1.
    Beim zweidimensionalen Problem ist der 2p-Term bloß zweifach entartet.Google Scholar
  40. 2.
    L. Brillouin, Quantenstatistik, S. 310.Google Scholar
  41. 1.
    Wäre keine Überdeckung vorhanden, so wäre das 4s-Band gerade zur Hälfte besetzt. Denn jedes freie Cu-Atom besitzt ein 4s-Elektron und das 4s-Band könnte deren zwei aufnehmen.Google Scholar
  42. 1.
    E. Kretschmann, Ann. d. Phys. Bd. 13, S. 564. 1932.ADSCrossRefGoogle Scholar
  43. 2.
    R. Schachenmeier, ZS. f. Phys. Bd. 74, S. 503. 1932.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  44. 1.
    D. h. mindestens in die Elektronenwolke, welche das Metall umgibt (vgl. Abschnitt e).Google Scholar
  45. 2.
    Die Aufladung des Metalls auf + e durch Ablösung unseres Aufelektrons macht natürlich nichts aus: Wir können uns das Metall etwa als Kugel vom (großen) Radius R vorstellen, wenn dann die Ladung gleichmäßig verteilt ist, ist die Kraft auf ein Elektron an der Oberfläche e 2 /R 2, also minimal.Google Scholar
  46. 3.
    Dies hat zuerst J. Frenkel, ZS. f. Phys. Bd. 51, S. 232. 1928, betont.ADSCrossRefGoogle Scholar
  47. 3.
    W. Lenz, ZS. f. Phys. Bd. 77, S. 713; H. Jensen, ebenda S. 722. 1932.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  48. 3.
    Das ist für spezielle Systeme, z. B. für freie Atome (Fermi) und für ein Metall mit gleichmäßig verteilter positiver Ladung (Frenkel, ZS. f. Phys. Bd. 51, S. 232. 1928) bereits bekannt.ADSCrossRefGoogle Scholar
  49. 1.
    Positiv und negativ im gewöhnlichen elektrostatischen Sinn (Elektronenladung negativ).Google Scholar
  50. 2.
    Vgl. J. Frenkel, ZS. f. Phys. Bd. 51, S. 232. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  51. 1.
    J. E. Lenard-Jones u. H. J. Woods, Proc. Roy. Soc. London Bd. 120, S. 727. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  52. 2.
    Es ist allerdings fraglich, ob dies zutrifft, da (vgl. unten) die Elektronendichte an der Oberfläche der Platte kleiner ist als in der Mitte.Google Scholar
  53. 4.
    H. Bethe, Ann. d. Phys. Bd. 87, S. 55. 1928 (§ 10, 11).ADSCrossRefGoogle Scholar
  54. 1.
    Diese Form der Ableitung zuerst bei J. Frenkel, ZS. f. Phys. Bd. 59, S. 649. 1930.ADSCrossRefGoogle Scholar
  55. 2.
    Wir verweisen in diesem Zusammenhang nochmals auf unsere Behauptung in Abschnitt d, daß die räumliche Ausdehnung der Elektronenwolke die Schuld an dem stets positiven Vorzeichen des Potentials trägt.Google Scholar
  56. 3.
    Vgl. z. B. C. van Vleck, Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities, Kap. IV, §23. Oxford 1932.MATHGoogle Scholar
  57. 4.
    L. Rosenfeld, Naturwissensch. Bd. 17, S. 44. 1929.ADSCrossRefGoogle Scholar
  58. 5.
    H. Bethe, Ann. d. Phys. Bd. 87, S. 55. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  59. 6.
    Daran kann auch die Verbesserung von L. Pauling (Phys. Rev. Bd. 34, S. 954. 1929, Benutzung besserer Abschirmungszahlen) nichts ändern.ADSCrossRefGoogle Scholar
  60. 1.
    Man beachte, daß die Elektronenladung mit +e bezeichnet ist.Google Scholar
  61. Vgl. A. Sommerfeld, ZS. f. Phys. Bd. 80, S. 415. 1933.Google Scholar
  62. 1.
    J. Frenkel, ZS. f. Phys. Bd. 49, S. 31. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  63. D. h. in einem Intervall, in dem der wesentliche Abfall der Fermischen Verteilungsfunktion f enthalten ist.Google Scholar
  64. 1.
    Das ergab sich aus unserer theoretischen Diskussion, insbesondere Ziff. 13 b. Außerdem folgt es aus den experimentellen Werten des Paramagnetismus (Ziff. 25).Google Scholar
  65. 2.
    A. H. Wilson, Proc. Roy. Soc. London Bd. 133, S. 458. 1931; Bd. 134, S. 277. 1932.ADSCrossRefGoogle Scholar
  66. 3.
    D. h. wenn man annimmt, daß die Anzahl Zustände pro Energieintervall sich nicht wesentlich ändert, wenn die Energie um die Größenordnung kT zunimmt.Google Scholar
  67. 1.
    L. Nordheim, ZS. f. Phys. Bd. 46, S. 833. 1928;ADSCrossRefGoogle Scholar
  68. 1a.
    s. a. R. H. Fowler, Proc. Roy. Soc. London Bd. 118, S. 229. 1928; Bd. 122, S. 36. 1929.ADSCrossRefGoogle Scholar
  69. 1.
    Eigentlich kommt es allerdings für D nicht auf die Absolutgeschwindigkeit an, sondern auf deren ϰ-Komponente.Google Scholar
  70. 2.
    L. H. Germer, Phys. Rev. Bd. 25, S. 795. 1925;ADSCrossRefGoogle Scholar
  71. 2a.
    O.W. Richardson, Phil. Mag. Bd. 16, S. 890. 1908; Bd. 18, S. 681. 1909;CrossRefGoogle Scholar
  72. 2b.
    O. W. Richardson u. F.C. Brown, Ebenda Bd. 16, S. 353. 1908.Google Scholar
  73. 1.
    Vgl. L. W. Nordheim, Proc. Roy. Soc. London Bd. 121, S. 626. 1928.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  74. 2.
    E. Madelung, ZS. f. Phys. Bd. 67.S. 516. 1931.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  75. 1.
    An sich ist dies Resultat nicht wunderbar, denn das W.K.B. entspricht einer Näherung von der klassischen Mechanik her, und dort gibt es keine Reflexion an Potentialwänden, falls die kinetische Energie 2ur Überschreitung der Wand ausreicht. Das W.K.B. gestattet nur darüber hinaus, genau die Gültigkeitsgrenzen der klassischen Mechanik anzugeben.Google Scholar
  76. 2.
    Ebenso wie L. W. Nordheim, 1. c.Google Scholar
  77. 2.
    R. H. Fowler u. L. Nordheim, Proc. Roy. Soc. London Bd. 119, S. 173. 1928;ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  78. 2a.
    L. Nordheim, Ebenda Bd. 121, S. 626. 1928;MATHGoogle Scholar
  79. 2b.
    T. E. Stern, B. S. Gossling u. R. H. Fowler, ebenda Bd. 124, S. 699 – 1929;Google Scholar
  80. 2c.
    Oppenheimer, Phys. Rev. Bd. 31, S. 66. 1928; Proc. Nat. Acad. Amer. Bd. 14, S. 303. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  81. 1.
    Andernfalls gilt der Ausdruck für die Bildkraft nicht, da wir uns bereits in der Ladungswolke der elektrischen Doppelschicht an der Oberfläche befinden (vgl. Ziff. 14e).Google Scholar
  82. 2.
    W. V. Houston (ZS. f. Phys. Bd. 47, S. 33. 1928) hat diese Annahme gemacht und theoretisch diskutiert. Daß das unzureichend ist, erkannte zuerst A. T. Waterman, Proc. Roy. Soc. London Bd. 121, S. 28. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  83. 1.
    H. A. Kramers, ZS. f. Phys. Bd. 39, S. 828. 1926.ADSCrossRefGoogle Scholar
  84. Durchlässigkeit 1 bedeutet, daßnach der klassischen Mechanik ein Elektronenaustritt möglich ist.Google Scholar
  85. 2.
    R. A. Millikan u. C. F. Eyring, Phys. Rev. Bd. 27, S. 51. 1926. F. Rother (Ann. d. Phys. Bd. 81, S. 321) findet dagegen für Tantal etwa 8 • 106 Volt/cm erforderlich, was unserer Rechnung sehr gut entsprechen würde. Für reines Wolfram (Austrittsarbeit fast 5 Volt) fanden Millikan und Eyring nach Ausglühen Emission bei 4 • 106 Volt/cm Feldstärke. Weitere Literatur in der Arbeit von Millikan und Eyring und von Stern, Gossling und Fowler.ADSCrossRefGoogle Scholar
  86. 1.
    R. A. Millikan u. C. C. Lauritzer, Proc. Nat. Acad. Amer. Bd. 14, S. 45. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  87. 2.
    Diese Herabsetzung der Austrittsarbeit in schwachen Feldern wurde zuerst von W. Schottky (ZS. f. Phys. Bd. 18, S. 63. 1923) theoretisch abgeleitet und verschiedentlich durch die Erfahrung bestätigt,ADSCrossRefGoogle Scholar
  88. 2a.
    z. B. von W. S. Pforte, ZS. f. Phys. Bd. 49, S. 333. 1928,CrossRefGoogle Scholar
  89. 2b.
    und von N. A. de Bruynb, Proc. Roy. Soc. London Bd. 120, S. 423. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  90. 1.
    C. Eckart, ZS. f. Phys. Bd. 47, S. 38. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  91. 2.
    Das folgt daraus, daß die Eigenfunktion an der Grenzfläche stetig sein muß. Handelt es sich um gebundene Elektronen, so gilt die Bedingung für die y- und z-Komponente der reduzierten Wellenzahl (vgl. Ziff. 8 c), wenigstens wenn die beiden Metalle das gleiche Gitter haben und die x-Achse in beiden Metallen Kristallachse ist.Google Scholar
  92. 1.
    Vgl. J. Frenkel, Wave Mechanics, S. 244. Einen thermodynamischen Beweis findet man bei C. Eckart, ZS. f. Phys. Bd. 47, S. 38. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  93. 2.
    Dies folgt aus dem allgemeinen quantenmechanischen Satz, daß die Wahrscheinlichkeit eines Prozesses und des dazu inversen stets gleich sind.Google Scholar
  94. 1.
    Anders als in a.Google Scholar
  95. 2.
    R. H. Fowler u. A. H. Wilson, Proc. Roy. Soc. London Bd. 124, S. 493. 1929.ADSCrossRefGoogle Scholar
  96. 1.
    W. Ehrenberg u. H. Hönl, ZS. f. Phys. Bd. 68, S. 289. 1931;ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  97. 1a.
    J. Frenkel, Phys. Rev. Bd. 36, S. 1604. 1930.ADSCrossRefGoogle Scholar
  98. 1.
    D. h. auf einer Strecke von atomaren Dimensionen.Google Scholar
  99. 1.
    Man beachte, daß im ersten Integral v x positiv sein muß (Strom von der Kathode zur Anode), im zweiten negativ.Google Scholar
  100. 1.
    Vgl. dazu jedoch Abschnitte.Google Scholar
  101. 1.
    Allerdings kommt der Durchlässigkeitskoeffizient etwas zu groß heraus, wenn man die quadratische Funktion Q statt des richtigen Wurzelausdrucks setzt. Besser setzt man in (21.18) etwa 3,5 bis 3,7, anstatt n, dann wird für a = ca. 18 Å der Widerstand 1 Ohm erreicht.Google Scholar
  102. 1.
    J. Frenkel, Wave Mechanics, S. 249.Google Scholar
  103. 2.
    Wenn die Grenzenergie der Fermiverteilung in beiden Metallen die gleiche ist, soll die Potentialdifferenz nach wie vor Null heißen.Google Scholar
  104. 1.
    Die Deutung von H. Fröhlich (ZS. f. Phys. Bd. 81, S. 297. 1933) scheint uns z. B. etwas unvorsichtig, obgleich manches Wertvolle in ihr enthalten ist.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  105. 1.
    Vgl. R. de L. Kronig, ZS. f. Phys. Bd. 70, S. 317. 1931; Bd. 75, S. 191 u. 468. 1932.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  106. 1.
    (23. 12) gilt natürlich nur für kubische Strukturen.Google Scholar
  107. 2.
    Bezeichnung wie in Ziff. 8 c.Google Scholar
  108. 3.
    Vgl. die zitierte Arbeit von Kronig.Google Scholar
  109. 4.
    D. Coster u. J. Veldkamp, ZS. f. Phys. Bd. 70, S. 306. 1931.ADSCrossRefGoogle Scholar
  110. 1.
    W. V. Houston, Phys. Rev. Bd. 38, S. 1997. 1931;ADSCrossRefGoogle Scholar
  111. 1a.
    Experimente von R. Glocker, Phys. ZS. Bd. 33, S. 963. 1932, und anderen.Google Scholar
  112. 1.
    Vgl. die sehr sorgfältige Diskussion von Ig. Tamm u. S. Schubin, ZS. f. Phys. Bd. 68, S. 97. 1931;ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  113. 1a.
    sowie H. Fröhlich, Ann. d. Phys. Bd. 7. S. 103. 1930.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  114. 2.
    G. Wentzel, Sommerfeld-Festschrift S. 79.Google Scholar
  115. 3.
    „Volumeffekt“ in der zitierten Arbeit von Tamm und Schubin.Google Scholar
  116. 1.
    Für die normale Absorption des Metalls (Ziff. 22) ist dies nicht möglich, sie würde für freie Elektronen (Eigenfunktionen ebene Wellen) verschwinden.Google Scholar
  117. 2.
    G. Wentzel, Sommerfeld-Festschrift. S 79.Google Scholar
  118. 1.
    W. Pauli, ZS. f. Phys. Bd. 41, S. 81. 1926.ADSCrossRefGoogle Scholar
  119. 2.
    J. Frenkel, ZS. f. Phys. Bd. 49, S. 31. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  120. 1.
    Z. B. bei Cu und Au keine meßbare Änderung zwischen 300 und 1300° abs., bei Ag ca. 10% Verminderung von 300 bis 1400°, Pb keine meßbare Änderung von Zimmertemperatur bis Schmelzpunkt (600° abs.), Cr 10% Zunahme von 300 bis 1400° usw.Google Scholar
  121. 2.
    L. Landau, ZS. f. Phys. Bd. 64, S. 629. 1930;ADSCrossRefGoogle Scholar
  122. 2a.
    vgl. auch E. Teller, ebenda Bd. 67, S. 311. 1931;MATHGoogle Scholar
  123. 2b.
    R. Peierls, ebenda Bd. 80, S. 763. 1933.MATHGoogle Scholar
  124. 1.
    E. Teller, ZS. f. Phys. Bd. 67, S. 311. 1931.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  125. 2.
    R. Peierls, ZS. f. Phys. Bd. 80, S. 763. 1933.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  126. 1.
    Dazu käme noch der Spin-Paramagnetismus (Ziff. 25) und der quasiferromagnetische Effekt der Ziff. 27.Google Scholar
  127. 1.
    F. Bloch, ZS. f. Phys. Bd. 57, S. 545. 1929.ADSCrossRefGoogle Scholar
  128. 2.
    Der einfacheren Ausdrucksweise zuliebe sprechen wir von den Verhältnissen beim absoluten Nullpunkt.Google Scholar
  129. 1.
    J. C. Slater, Phys. Rev. Bd. 36, S. 57. 1930.ADSCrossRefGoogle Scholar
  130. 4.
    Vgl. zum Folgenden H. Bethe, Ann. d. Phys. Bd. 5, S. 325. 1930 (Ziff. 3).ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  131. 1.
    H. Bethe, Ann. d. Phys. Bd. 87, S. 55. 1928;ADSCrossRefGoogle Scholar
  132. 1a.
    und besonders Ph. M. Morse, Phys. Rev. Bd. 35, S. 1310. 1930.ADSCrossRefGoogle Scholar
  133. 2.
    Die Theorie läßt sich genau so für nichtorthogonale Achsen durchführen.Google Scholar
  134. 1.
    D. h. der Wellenlänge, bei der das «te Reflexionsmaximum auftritt.Google Scholar
  135. 1.
    J. Davisson u. L. H. Germer, Proc. Nat. Acad. Amer. Bd. 14, S. 619. 1929.ADSCrossRefGoogle Scholar
  136. 2.
    E. Rupp u. M. v. Laue, Ann. d. Phys. Bd. 4, S. 1097. 1930;MATHGoogle Scholar
  137. 2a.
    E. Rupp u. W. Boas, ebenda Bd. 7, S. 983. 1930; Bd. 13, S. 1. 1932;Google Scholar
  138. 2b.
    E. Rupp u. V. Lass, ebenda Bd. 11, S. 611. 1931; Bd. 13, S. 101. 1932;Google Scholar
  139. 2c.
    E. Rupp u. A. Bühl, ZS. f. Phys. Bd. 64, S. 572. 1931.Google Scholar
  140. 4.
    Außerdem hat W. Ehrenberg eingehende Untersuchungen an Cu begonnen (nach freundlicher mündlicher Mitteilung). Siehe auch H. E. Farnsworth, Phys. Rev. Bd. 40, S. 684. 1932.ADSCrossRefGoogle Scholar
  141. 1.
    Vgl. darüber H. Bethe, Ann. d. Phys. Bd. 87, S. 55. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  142. 2.
    H. Raether, ZS. f. Phys. Bd. 78, S. 527. 1932.ADSCrossRefGoogle Scholar
  143. 3.
    H. E. Farnsworth, Phys. Rev. Bd. 36, S. 1799. 1930.ADSCrossRefGoogle Scholar
  144. 1.
    H. Bethe, Ann. d. Phys. Bd. 87, S. 55. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  145. 2.
    Vgl. H. Fröhlich, Ann. d. Phys. Bd. 13, S. 229. 1932.ADSCrossRefGoogle Scholar
  146. 3.
    H. Bethe, Ann. d. Phys. Bd. 5, S. 325 (Ziff. 6 u. 18); ds. Handb. Bd. XXIV/1, S. 517.Google Scholar
  147. 4.
    H. Bethe, 1. c.Google Scholar
  148. 1.
    Die genauere Daxstellung findet sich im Artikel Born, dieser Band, Kap. 4, Ziff. 11–17.Google Scholar
  149. 1.
    Wir verwenden die von R. Peierls (Ann. d. Phys. Bd. 3, S. 1055. 1929) eingeführten Normalkoordinaten. Wir konnten uns aber nicht entschließen, negative j und w zu definieren.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  150. 1.
    P. A. M. Dirac, Quantum Mechanics, § 41, S. 123. Oxford 1930.MATHGoogle Scholar
  151. 1.
    Sie ist bei unserem Problem des harmonischen Oszillators bekanntlich eine Hermite-sche Funktion, was uns aber nicht weiter interessiert.Google Scholar
  152. 2.
    Die zweite Annahme liegt den Arbeiten von F. Bloch (ZS. f. Phys. Bd. 52, S. 555. 1928; Bd. 57, S. 545. 1929)ADSCrossRefGoogle Scholar
  153. 2a.
    und R. Peierls (Ann. d. Phys. Bd. 4, S. 121. 1930; Bd. 12, S. 154. 1932),ADSCrossRefGoogle Scholar
  154. 2b.
    die erste derjenigen von L. Nordheim (ebenda Bd. 9, S. 607. 1931) zugrunde. Keine der beiden Ansichten ist ausführlich begründet.Google Scholar
  155. 1.
    Dies scheint uns — neben anderen, schwerwiegenderen Bedenken — gegen die Kronig-sche Theorie der Supraleitung (ZS. f. Phys. Bd. 78, S. 744. 1932) zu sprechen: Dort wird für tiefe Temperaturen Unabhängigkeit der Bewegung der Leitungselektronen von den Gitterschwingungen gefordert.Google Scholar
  156. 2.
    Eine Schwingung der genannten Art (positive Ionen schwingen gegen das „starre Gitter“ der negativen Leitungselektronen) würde, wenn sie existierte, ähnliche Frequenzen haben wie die Grundschwingung eines Ionenkristalls, also etwa die des Na gegen das Cl-Gitter im Kochsalz.Google Scholar
  157. 3.
    Dieser und die folgenden Abschnitte (bis Ziff. 37 einschl.) decken sich bis auf eine Anzahl formaler Vereinfachungen im wesentlichen mit der grundlegenden Arbeit von F. Bloch (ZS. f. Phys. Bd. 52, S. 555. 1928), welche wir daher im folgenden nicht jedesmal von neuem zitieren.ADSCrossRefGoogle Scholar
  158. 1.
    Bloch setzt ein spezielles Wellenpaket an, Fujioka (ZS. f. Phys. Bd. 76, S. 537. 1932) hat ebenso wie wir ein allgemeines, führt jedoch die Ableitung nicht ganz korrekt durch.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  159. 2.
    + e = Elektronenladung.Google Scholar
  160. 3.
    Wegen unserer Voraussetzung über Ψ ist der Integrand aber nur endlich im Gebiet einiger Atome.Google Scholar
  161. 1.
    S. Kikuchi u. L. Nordheim, ZS. f. Phys. Bd. 60, S. 652. 1930.ADSCrossRefGoogle Scholar
  162. 2.
    L. Nordheim rechnet statt dessen mit starren Ionen, was unserer Ansicht nach nicht bloß komplizierter (vgl. das Resultat der Nordheimschen Rechnung!), sondern auch nicht zulässig ist (vgl. Ziff. 32e, 34f).Google Scholar
  163. 3.
    In unmittelbarer Nähe der Kerne ändert sich das Potential zu rasch, als daß man eine Taylorsche Entwicklung nach (34.3) vornehmen könnte. Der Beitrag der fraglichen Gebiete zur Übergangswahrscheinlichkeit ist aber sehr klein.Google Scholar
  164. 2.
    Die Integrale gehen über das Grundgebiet, im Gegensatz zu (34.24), wo über eine Elementarzelle zu integrieren ist.Google Scholar
  165. 1.
    Will man von (34.31) ausgehen, so hat man zu beachten, daß für freie Elektronen V konstant sein muß und ein ruhendes freies Elektron die Energie E 0 = V besitzt.Google Scholar
  166. 2.
    Wir führen nur die erste Näherung der Störungsrechnung durch, indem wir für c(t) auf der rechten Seite von (34. 7) seinen Wert 1 zur Zeit t = 0 eingesetzt haben. In höheren Näherungen kommen Übergänge vor, bei denen zwei Gitterschwingungen gleichzeitig ihren Quantenzustand ändern und das Elektron abgelenkt wird. Diese dürften die Abweichungen des Widerstands von der Proportionalität mit T bei hohen Temperaturen verursachen (vgl. Anm. 1, S. 523).Google Scholar
  167. 1.
    Wir betrachten von jetzt ab nicht mehr ein Elektron, sondern die Gesamtheit aller, gehen also zur Statistik über.Google Scholar
  168. 2.
    Eine strenge Ableitung findet man bei S. Kikuchi u. L. Nordheim, ZS. f. Phys. Bd. 60, S. 652. 1930.ADSCrossRefGoogle Scholar
  169. 1.
    Vgl. jedoch Ziff. 40 bis 42.Google Scholar
  170. 2.
    G. Wentzel, ZS. f. Phys. Bd. 40, S. 590. 1927.ADSCrossRefGoogle Scholar
  171. 1.
    Genau genommen steigt der Widerstand bei hohen Temperaturen etwas starker als proportional der absoluten Temperatur. Vgl. z. B. E. Grüneisen, Ann. d. Phys. Bd. 16, S. 530. 1933. Dies ist jedenfalls auf die Mitwirkung von „Doppel-Stoßprozessen“ zurückzuführen, d. h. Stößen, an denen zwei Gitterwellen und ein Elektron beteiligt sind (vgl. Anm. 2, S. 514).ADSCrossRefGoogle Scholar
  172. 2.
    W. V. Houston, ZS. f. Phys. Bd. 48, S. 449. 1928.ADSCrossRefGoogle Scholar
  173. 1.
    Es ist allerdings zu beachten, daß für die Gebiete nahe am Atomkern die Änderung des Potentials durch die Gitterschwingung nicht durch (34. 3) dargestellt wird, sondern kleiner ist. Da diese Gebiete einen sehr wesentlichen Beitrag zu V geben, wird C in Wirklichkeit kleiner als — V anzusetzen sein.Google Scholar
  174. 2.
    Nach W. Meissner bei besonders reinem Gold 68, nach älteren Messungen ca. 45.Google Scholar
  175. 1.
    Daß C für K kleiner ist als für Na, dürfte sich aus dem wesentlich größeren Atomvolum des Kaliums erklären.Google Scholar
  176. 1.
    Vgl. W. Kroll, ZS. f. Phys. Bd. 77, S. 322. 1932.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  177. 2.
    Vgl. F. Bloch, ZS. f. Phys. Bd. 57, S. 545. 1929.ADSCrossRefGoogle Scholar
  178. 1.
    Vgl. F. Bloch, 1. c; L. Brillouin [1. c. S. 380, Formel (235)] gibt eine sinnlose Formel.Google Scholar
  179. 1.
    E. Grüneisen, Ann. d. Phys. Bd. 16, S. 530. 1933; Leipziger Vortr. 1930, S. 46.ADSCrossRefGoogle Scholar
  180. 2.
    Weiteres Material bei Grüneisen, 1. c.Google Scholar
  181. 2.
    R. Peierls, Ann. d. Phys. Bd. 4, S. 121. 1930; Bd. 5, S. 244. 1930; Bd. 12, S. 154. 1932.ADSCrossRefGoogle Scholar
  182. 2a.
    Eine Kritik von A. H. Wilson (Proc. Roy. Soc. London Bd. 138, S. 594. 1932) wurde von Peierls in der ZS. f. Phys. Bd. 81, S. 697. 1933, widerlegt.ADSCrossRefGoogle Scholar
  183. 2.
    P. Debye, Vorlesungen über die kinetische Theorie usw. Leipzig: B. G. Teubner 1914; L. Brillouin, C. R. Bd. 159, S. 27. 1914; Ann. École Norm. Supér. 1920, S. 445.Google Scholar
  184. Berechnet aus mittlerem Elastizitätsmodul (3500 kg/cm) und Dichte (2,17).Google Scholar
  185. 2.
    R. Peierls, Ann. d. Phys. Bd. 3, S. 1055. 1929.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  186. 3.
    A. Eucken u. G. Kuhn, ZS. f. phys. Chem. Bd. 134, S. 193. 1928.Google Scholar
  187. 4.
    Daher ist es für unser Resultat gleichgültig, ob der Anstieg der Wärmeleitfähigkeit etwa durch Gitterstörungen auf Proportionalität mit Θ/T verlangsamt wird (vgl. Peierls, 1. c.).Google Scholar
  188. 3.
    R. Peierls, Ann. d. Phys. Bd. 4, S. 145. 1930.Google Scholar
  189. 4.
    Dies ist der uns am meisten interessierende Fall, weil die Umklappprozesse nur bei tiefen Temperaturen wichtig sind.Google Scholar
  190. 1.
    Es ist daher ganz abwegig, wenn L. Brillouin [Quantenstatistik, S. 329, Formel (138)] für Umklappprozesse eine völlig andere (viel größere) Wahrscheinlichkeit annimmt als für „normale“ Stöße (vgl. den bei Brillouin S. 517 zitierten Brief von Peierls).Google Scholar
  191. 2.
    Wir beziehen uns bei unseren Überlegungen stets auf die Energieflächen eines Energiebandes. Unsere Energiefläche, die sich über das ganze reziproke Gitter erstreckt, hat also nichts zu tun mit der in Ziff. 11 f besprochenen Brillouinschen Darstellung, in der gleichfalls das ganze reziproke Gitter von Energieflächen ausgefüllt war, aber jedem Elementarbereich ein anderes Energieband zugeordnet wurde.Google Scholar
  192. 3.
    R. Peierls, 1. c, insbesondere Ann. d. Phys. Bd. 12.Google Scholar
  193. 1.
    „Verschiebung“ usw. bezieht sich stets auf die Punkte, welche die Elektronenzustände im reziproken Gitter darstellen, nicht etwa auf den gewöhnlichen Raum.Google Scholar
  194. 2.
    Wenigstens bei tiefen Temperaturen, wo nur lange Wellen angeregt sind. Kurze Wellen können auch, wenn sie umgekehrt laufen, zur Wiederherstellung des Gleichgewichts beitragen.Google Scholar
  195. 2.
    L. Nordheim, Ann. d. Phys. Bd. 9, S. 641. 1931. Wir schließen uns eng an Nordheim an.ADSCrossRefGoogle Scholar
  196. 2.
    L. Nordheim, 1. c. S. 668.Google Scholar
  197. 1.
    E. Grüneisen u. E. Goens, ZS. f. Phys. Bd. 44, S. 615. 1927;ADSCrossRefGoogle Scholar
  198. 1a.
    E. Grüneisen, ebenda Bd. 46, S. 151. 1927-Google Scholar
  199. 2.
    Natürlich ist der Widerstand quantitativ verschieden von dem der beiden Metalle und berechnet sich nicht etwa nach einer Mischungsregel.Google Scholar
  200. 2.
    Nach J. Frenkel (Phys. Rev. Bd. 43, S. 907. 1933) soll die magnetische Wechselwirkung der Metallelektronen die Energie der Zustände mit Strom stark herabsetzen. Diese Annahme ist nach H. Bethe und H. Fröhlich (ZS. f. Phys., im Ersch.) ungeeignet.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  201. 3.
    R. de L. Kronig, ZS. f. Phys. Bd. 78, S. 744. 1932; Bd. 80, S. 203. 1933.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  202. 1.
    Näheres vgl. die zweite Arbeit von Kronig, 1. c.Google Scholar
  203. 1.
    R. Schachenmeier, ZS. f. Phys. Bd. 74, S. 503. 1932.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  204. 2.
    E. Kretschmann, Ann. d. Phys. Bd. 13, S. 564. 1932.ADSCrossRefGoogle Scholar
  205. 3.
    C. Benedicks, Ann. d. Phys. Bd. 17, S. 169. 1933.ADSCrossRefGoogle Scholar
  206. 4.
    A.H. Wilson, Proc. Roy. Soc. London Bd. 133, S. 458; Bd. 134, S. 277. 1931.ADSCrossRefGoogle Scholar
  207. 1.
    Vgl. hierzu R. Peierls, ZS, f. Phys. Bd. 53, S. 255. 1929 (I);ADSCrossRefGoogle Scholar
  208. 1a.
    Vgl. hierzu R. Peierls, Ann. d. Phys. Bd. 10. S. 37. 1931 (II), außerdem auch Ziff. 7 dieses Artikels. Wir rechnen im Gegensatz zu Ziff. 7 alle elektrischen Größen (e, F, I) in elektrostatischen und nur das Magnetfeld in magnetischen Einheiten. Dadurch erklärt sich das Hinzutreten von Faktoren c in unseren Formeln.Google Scholar
  209. 1.
    R. Peierls I.Google Scholar
  210. 1.
    Der Strom fließt natürlich bei uns nicht in der ξ-Richtung, sondern hat auch eine η-Komponente.Google Scholar
  211. 2.
    R. Peierls, ZS. f. Phys. Bd. 53, S. 255. 1929.ADSCrossRefGoogle Scholar
  212. 3.
    Über die Bedingung hierfür vgl. Abschnitt d dieser Ziffer.Google Scholar
  213. 4.
    Dagegen nicht mehr für die magnetische Widerstandsänderung.Google Scholar
  214. 3.
    C. Bellia, ZS. f. Phys. Bd. 74, S. 655. 1931. Dort weitere Literatur. 4 Nicht nur proportional zu sich selbst vergrößert oder verkleinert.ADSCrossRefGoogle Scholar
  215. 1.
    Vgl. auch H. Bethe, Nature Bd. 127, S. 336. 1931.Google Scholar
  216. 2.
    Bei den aufgeführten Metallen sind alle vorhandenen Messungen berücksichtigt.Google Scholar
  217. 3.
    Vgl. P. Kapitza, Proc. Roy. Soc. London Bd. 123, S. 292 u. 342. 1929.ADSCrossRefGoogle Scholar
  218. 1.
    P. Kapitza, Proc. Roy. Soc. London Bd. 123, S. 292 u. 342. 1929.ADSCrossRefGoogle Scholar
  219. 1.
    W. Meissner u. H. Scheffers, Phys. ZS. Bd. 30, S. 829. 1929; Bd. 31, S. 574. 1930.Google Scholar
  220. 3.
    Vgl. R. Peierls, Ann. d. Phys. Bd. 10, S. 97. 1931.ADSCrossRefGoogle Scholar
  221. 1.
    W. Kroll, ZS. f. Phys. Bd. 80, S. 50. 1932.ADSCrossRefGoogle Scholar
  222. 2.
    R. de L. Kronig, Proc. Roy. Soc. London Bd. 124, S. 409. 1929; Bd. 133, S. 255. 1931;ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  223. 2a.
    Y. Fujioka, ZS. f. Phys. Bd. 76, S. 537. 1932.ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  224. 1.
    Dabei ist (52.26a) die allgemeingültige Definition.Google Scholar
  225. 2.
    K. Försterling u. V. Fréedericksz, Ann. d. Phys. Bd. 40, S. 201. 1913.CrossRefGoogle Scholar
  226. 1.
    Auf der linken Seite von (52.30) bedeutet n den Brechungsindex, auf der rechten die Anzahl der Leitungselektronen pro cm3.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1967

Authors and Affiliations

  • A. Sommerfeld
    • 1
  • H. Bethe
    • 1
  1. 1.MünchenDeutschland

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